Série 2 — colinéarité, alignement et déterminant. Le plan est muni d'un repère.
Exercice 1
\(\vec u(3\,;-2)\) et \(\vec v(-6\,;4)\).
- Calculer \(\det(\vec u\,;\vec v)\).
- Que peut-on en conclure ?
Correction
- \(\det = 3\times4 - (-2)\times(-6) = 12 - 12 = 0\).
- Les vecteurs sont colinéaires : \(\vec v = -2\vec u\).
Exercice 2
\(A(1\,;2)\), \(B(4\,;8)\) et \(C(-1\,;-2)\). Les points sont-ils alignés ?
Correction
\(\vec{AB}(3\,;6)\) et \(\vec{AC}(-2\,;-4)\) ; \(\det = 3\times(-4) - 6\times(-2) = -12 + 12 = 0\) : les points sont alignés.
Exercice 3
\(A(0\,;1)\), \(B(3\,;5)\), \(C(5\,;2)\) et \(D(2\,;-2)\). Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
Correction
\(\vec{AB}(3\,;4)\) et \(\vec{DC}(3\,;4)\) : \(\vec{AB} = \vec{DC}\), donc \(ABCD\) est un parallélogramme.
Exercice 4
Soient \(\vec u(2\,;-1)\) et \(\vec v(1\,;3)\). Décomposer \(\vec w(8\,;3)\) sous la forme \(a\vec u + b\vec v\).
Correction
\(\begin{cases} 2a + b = 8 \\ -a + 3b = 3 \end{cases}\). De la première : \(b = 8 - 2a\) ; alors \(-a + 24 - 6a = 3\), donc \(7a = 21\), \(a = 3\) et \(b = 2\). Ainsi \(\vec w = 3\vec u + 2\vec v\).
Exercice 5
\(A(2\,;1)\) et \(B(6\,;9)\). Déterminer le point \(M\) tel que \(\vec{AM} = \dfrac34\vec{AB}\).
Correction
\(\vec{AB}(4\,;8)\), donc \(\dfrac34\vec{AB}(3\,;6)\) et \(M(5\,;7)\).
Exercice 6
Déterminer le réel \(m\) pour que les vecteurs \(\vec u(m\,;3)\) et \(\vec v(4\,;m-1)\) soient colinéaires.
Correction
\(\det = m(m-1) - 12 = 0\), soit \(m^2 - m - 12 = 0\), donc \(m = 4\) ou \(m = -3\).
Exercice 7
\(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(G\) est le point tel que \(\vec{AG} = \dfrac23\vec{AI}\).
- Exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\).
- En déduire les coordonnées de \(G\) lorsque \(A(1\,;2)\) et \(B(7\,;5)\).
Correction
- \(\vec{AI} = \dfrac12\vec{AB}\), donc \(\vec{AG} = \dfrac23\times\dfrac12\vec{AB} = \dfrac13\vec{AB}\).
- \(\vec{AB}(6\,;3)\), donc \(\vec{AG}(2\,;1)\) et \(G(3\,;3)\).