1. Multiples et diviseurs
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels avec \(b\neq0\). On dit que \(b\) divise \(a\) (ou que \(a\) est un multiple de \(b\)) s'il existe un entier naturel \(k\) tel que \(a = kb\). On note \(b\mid a\).
Exemples : \(7\mid 63\) car \(63 = 9\times7\) ; les diviseurs de \(18\) sont \(1, 2, 3, 6, 9, 18\).
Propriétés
- Si \(d\mid a\) et \(d\mid b\), alors \(d\mid(a + b)\) et \(d\mid(a - b)\) (si \(a\ge b\)).
- Si \(a\mid b\) et \(b\mid c\), alors \(a\mid c\).
2. Nombres pairs et impairs
Un entier \(n\) est pair s'il s'écrit \(n = 2k\) ; il est impair s'il s'écrit \(n = 2k + 1\) (\(k\in\mathbb{N}\)).
- La somme de deux nombres de même parité est paire ; la somme d'un pair et d'un impair est impaire.
- Le produit de deux impairs est impair ; \(n\) et \(n^2\) ont la même parité.
- \(n(n + 1)\) est toujours pair (produit de deux entiers consécutifs).
3. Critères de divisibilité
| Divisible par | Critère |
|---|---|
| \(2\) | chiffre des unités \(0, 2, 4, 6\) ou \(8\) |
| \(3\) | somme des chiffres divisible par \(3\) |
| \(4\) | nombre formé par les deux derniers chiffres divisible par \(4\) |
| \(5\) | chiffre des unités \(0\) ou \(5\) |
| \(9\) | somme des chiffres divisible par \(9\) |
4. Nombres premiers
Un entier naturel \(p\ge2\) est premier s'il n'admet que deux diviseurs : \(1\) et \(p\).
Les premiers nombres premiers : \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, \dots\)
Décomposition : tout entier \(n\ge2\) s'écrit de manière unique (à l'ordre près) comme produit de facteurs premiers.
Exemple : \(360 = 2^3\times3^2\times5\).
Tester si un nombre est premier
On teste la divisibilité par les nombres premiers \(p\) tels que \(p^2\le n\). Exemple : \(97\) n'est divisible ni par \(2\), ni \(3\), ni \(5\), ni \(7\) (et \(11^2 > 97\)) : \(97\) est premier.
5. PGCD et PPCM
Le PGCD de \(a\) et \(b\) est le produit des facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant. Le PPCM est le produit de tous les facteurs premiers, chacun avec le plus grand exposant.
Exemple : \(84 = 2^2\times3\times7\) et \(90 = 2\times3^2\times5\) : \(\text{PGCD} = 2\times3 = 6\) et \(\text{PPCM} = 2^2\times3^2\times5\times7 = 1260\).
Pour tous \(a, b\) : \(\text{PGCD}(a, b)\times\text{PPCM}(a, b) = a\times b\). Si \(\text{PGCD}(a, b) = 1\), on dit que \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux.