Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Décomposer \(600\) et \(252\) en produit de facteurs premiers.
- En déduire leur PGCD et leur PPCM.
Correction
- \(600 = 2^3\times3\times5^2\) ; \(252 = 2^2\times3^2\times7\).
- \(\text{PGCD} = 2^2\times3 = 12\) ; \(\text{PPCM} = 2^3\times3^2\times5^2\times7 = 12\,600\).
Exercice 2 (5 pts)
- Le nombre \(157\) est-il premier ? Justifier.
- Déterminer le chiffre \(x\) pour que le nombre \(\overline{4x5}\) (de chiffres \(4\), \(x\), \(5\)) soit divisible par \(9\).
Correction
- \(12^2 = 144 < 157 < 169 = 13^2\) ; \(157\) n'est divisible ni par \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), ni \(11\) : il est premier.
- \(4 + x + 5 = 9 + x\) doit être un multiple de \(9\) : \(x = 0\) ou \(x = 9\).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(n\) un entier naturel.
- Montrer que \((n + 1)^2 - n^2\) est impair.
- Montrer que \(n^3 - n\) est divisible par \(6\) (on pourra factoriser).
Correction
- \((n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1\) : impair.
- \(n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)\) (pour \(n\ge1\) ; nul pour \(n = 0\)) : produit de trois entiers consécutifs, il contient un multiple de \(2\) et un multiple de \(3\), donc il est divisible par \(6\).
Exercice 4 (5 pts)
Deux bus partent ensemble de la gare à \(7\) h. L'un repasse toutes les \(18\) minutes, l'autre toutes les \(24\) minutes. À quelle heure repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
Correction
\(\text{PPCM}(18\,;24)\) : \(18 = 2\times3^2\), \(24 = 2^3\times3\), PPCM \(= 2^3\times3^2 = 72\) min. Ils repartiront ensemble à \(8\) h \(12\).