Exercice 1
Parmi les nombres \(126\) ; \(345\) ; \(1\,024\) ; \(2\,970\), lesquels sont divisibles par \(2\) ? par \(3\) ? par \(5\) ? par \(9\) ?
Correction
Par \(2\) : \(126\), \(1024\), \(2970\). Par \(3\) : \(126\) (\(1 + 2 + 6 = 9\)), \(345\) (\(12\)), \(2970\) (\(18\)). Par \(5\) : \(345\), \(2970\). Par \(9\) : \(126\) et \(2970\).
Exercice 2
Décomposer en produit de facteurs premiers : \(252\) ; \(1\,500\). En déduire \(\text{PGCD}(252\,;1500)\) et \(\text{PPCM}(252\,;1500)\).
Correction
\(252 = 2^2\times3^2\times7\) ; \(1500 = 2^2\times3\times5^3\). \(\text{PGCD} = 2^2\times3 = 12\) ; \(\text{PPCM} = 2^2\times3^2\times5^3\times7 = 31\,500\). Vérification : \(12\times31\,500 = 378\,000 = 252\times1500\).
Exercice 3
\(211\) est-il premier ? Et \(221\) ?
Correction
\(14^2 = 196 < 211 < 225 = 15^2\) : on teste \(2, 3, 5, 7, 11, 13\) ; aucun ne divise \(211\), donc \(211\) est premier. \(221 = 13\times17\) n'est pas premier.
Exercice 4
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Montrer que \(n^2 + n\) est pair, puis que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par \(3\).
Correction
\(n^2 + n = n(n + 1)\) est le produit de deux entiers consécutifs, dont l'un est pair : il est pair. \(n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)\) : divisible par \(3\).
Exercice 5
Montrer que si \(n\) est impair, alors \(n^2 - 1\) est divisible par \(8\).
Correction
\(n = 2k + 1\) : \(n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1)\). Or \(k(k + 1)\) est pair, donc \(k(k + 1) = 2m\) et \(n^2 - 1 = 8m\).
Exercice 6
On veut découper une plaque de \(120\) cm sur \(84\) cm en carrés identiques, les plus grands possibles, sans perte. Quel est le côté d'un carré ? Combien de carrés obtient-on ?
Correction
Le côté est \(\text{PGCD}(120\,;84)\) : \(120 = 2^3\times3\times5\), \(84 = 2^2\times3\times7\), PGCD \(= 12\) cm. Nombre de carrés : \(10\times7 = 70\).