1. Les ensembles de nombres
\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]
- \(\mathbb{N}\) : entiers naturels \(0, 1, 2, \dots\)
- \(\mathbb{Z}\) : entiers relatifs \(\dots, -2, -1, 0, 1, \dots\)
- \(\mathbb{D}\) : décimaux \(\frac{a}{10^n}\) avec \(a\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{N}\).
- \(\mathbb{Q}\) : rationnels \(\frac{p}{q}\) avec \(p\in\mathbb{Z}\), \(q\in\mathbb{N}^*\).
- \(\mathbb{R}\) : réels. Exemples d'irrationnels : \(\sqrt{2}\), \(\pi\).
2. Arithmétique dans ℕ
Un entier \(p \ge 2\) est premier s'il n'admet que deux diviseurs : \(1\) et \(p\).
Tout entier \(n \ge 2\) se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers. Le PGCD et le PPCM se calculent à partir de cette décomposition. Pour tous \(a, b\) non nuls : \(\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = ab\).
3. Intervalles
| Intervalle | Inégalité |
|---|---|
| \([a ; b]\) | \(a \le x \le b\) |
| \(]a ; b[\) | \(a < x < b\) |
| \([a ; +\infty[\) | \(x \ge a\) |
| \(]-\infty ; b[\) | \(x < b\) |
4. Valeur absolue
\[|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x \le 0 \end{cases}\]
Propriétés
- \(|x| \ge 0\), \(|xy| = |x||y|\), \(\sqrt{x^2} = |x|\).
- Inégalité triangulaire : \(|x+y| \le |x| + |y|\).
- \(|x - a|\) est la distance entre \(x\) et \(a\).
Pour \(r > 0\) : \(|x-a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r \Leftrightarrow x \in [a-r ; a+r]\).
5. Encadrement et approximation
Si \(a \le x \le b\), alors \(x\) est une valeur approchée de \(\frac{a+b}{2}\) à \(\frac{b-a}{2}\) près. On dit que \(a\) est une approximation par défaut et \(b\) par excès de \(x\) à \(b-a\) près.
Opérations sur les encadrements
- Si \(a\le x\le b\) et \(c \le y \le d\), alors \(a + c \le x+y \le b+d\).
- Pour la soustraction : \(a - d \le x - y \le b - c\).
- Si tous les nombres sont positifs : \(ac \le xy \le bd\).