Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Décomposer \(1008\) en facteurs premiers. (2 pts)
- En déduire la plus petite valeur entière \(k\) telle que \(1008k\) soit un carré parfait. (3 pts)
Correction
- \(1008 = 2^4\times3^2\times7\).
- Il faut que tous les exposants soient pairs : il manque un facteur \(7\). Donc \(k = 7\) et \(1008\times7 = 7056 = 84^2\).
Exercice 2 (8 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(|3x - 6| = 9\) (2 pts)
- \(|x - 1| \le 4\) (2 pts)
- \(|2x - 5| \ge 1\) (2 pts)
- \(|x - 1| = |x + 3|\) (2 pts)
Correction
- \(3x - 6 = 9\) ou \(3x - 6 = -9\) : \(S = \{-1 ; 5\}\).
- \(S = [-3 ; 5]\).
- \(2x - 5 \ge 1\) ou \(2x - 5 \le -1\) : \(S = ]-\infty ; 2] \cup [3 ; +\infty[\).
- \(x-1 = x+3\) (impossible) ou \(x-1 = -x-3\) : \(x = -1\). \(S = \{-1\}\).
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(x\) un réel tel que \(2 \le x \le 3\).
- Encadrer \(2x - 1\) et \(x^2\). (2 pts)
- Encadrer \(\frac{1}{x+1}\). (2 pts)
- En déduire un encadrement de \(A = \frac{x^2}{x+1}\). (3 pts)
Correction
- \(3 \le 2x-1 \le 5\) ; \(4 \le x^2 \le 9\).
- \(3 \le x+1 \le 4\) donc \(\frac14 \le \frac{1}{x+1} \le \frac13\).
- Tout est positif : \(4\times\frac14 \le A \le 9\times\frac13\), soit \(1 \le A \le 3\).