Exercice 1
Décomposer \(360\) et \(84\) en facteurs premiers, puis calculer leur PGCD et leur PPCM.
Correction
\(360 = 2^3\times3^2\times5\) et \(84 = 2^2\times3\times7\). PGCD \(= 2^2\times3 = 12\). PPCM \(= 2^3\times3^2\times5\times7 = 2520\). Vérification : \(12\times2520 = 30240 = 360\times84\).
Exercice 2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(|x - 3| = 5\)
- \(|2x + 1| \le 3\)
- \(|x + 2| > 1\)
Correction
- \(x - 3 = 5\) ou \(x - 3 = -5\) : \(S = \{-2 ; 8\}\).
- \(-3 \le 2x+1 \le 3 \Leftrightarrow -2 \le x \le 1\) : \(S = [-2 ; 1]\).
- \(x+2 > 1\) ou \(x+2 < -1\) : \(S = ]-\infty ; -3[ \cup ]-1 ; +\infty[\).
Exercice 3
Simplifier \(A = |\sqrt{3} - 2| + |1 - \sqrt{3}|\).
Correction
\(\sqrt{3} \approx 1{,}73\) : \(\sqrt{3} - 2 < 0\) et \(1 - \sqrt{3} < 0\). Donc \(A = (2 - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1) = 1\).
Exercice 4
On sait que \(1{,}41 \le \sqrt{2} \le 1{,}42\) et \(1{,}73 \le \sqrt{3} \le 1{,}74\). Encadrer \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\), \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\) et \(\sqrt{6}\).
Correction
\(3{,}14 \le \sqrt{2}+\sqrt{3} \le 3{,}16\). \(1{,}73 - 1{,}42 \le \sqrt{3} - \sqrt{2} \le 1{,}74 - 1{,}41\), soit \(0{,}31 \le \sqrt3-\sqrt2 \le 0{,}33\). \(\sqrt6 = \sqrt2\sqrt3\) : \(2{,}4393 \le \sqrt{6} \le 2{,}4708\).
Exercice 5
Écrire avec une valeur absolue : \(x \in [2 ; 8]\).
Correction
Centre \(5\), rayon \(3\) : \(|x - 5| \le 3\).
Exercice 6
Montrer que \(\frac{1}{\sqrt{5}-2} = \sqrt{5} + 2\) et en déduire que ce nombre est irrationnel (on admet \(\sqrt{5} \notin \mathbb{Q}\)).
Correction
\(\frac{1}{\sqrt5-2} = \frac{\sqrt5+2}{(\sqrt5-2)(\sqrt5+2)} = \frac{\sqrt5+2}{5-4} = \sqrt5+2\). Si \(\sqrt5 + 2 = r\in\mathbb{Q}\), alors \(\sqrt5 = r - 2\in\mathbb{Q}\) : contradiction.