1. Vecteurs et opérations
Un vecteur \(\vec{AB}\) est caractérisé par sa direction (la droite \((AB)\)), son sens (de \(A\) vers \(B\)) et sa norme \(AB\).
Relation de Chasles
\[\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\]
Multiplication par un réel
Le vecteur \(k\vec{u}\) a la même direction que \(\vec{u}\), le même sens si \(k > 0\), le sens contraire si \(k < 0\), et pour norme \(|k|\,\|\vec{u}\|\).
Milieu
\(I\) est le milieu de \([AB]\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{AI} = \frac12\vec{AB}\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0}\).
2. Colinéarité
\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \vec{0}\)).
- \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\Leftrightarrow\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires.
- \((AB) \parallel (CD)\) \(\Leftrightarrow\) \(\vec{AB}\) et \(\vec{CD}\) sont colinéaires.
3. Coordonnées dans un repère
Dans un repère \((O ; \vec{i}, \vec{j})\) :
- \(\vec{u}(x ; y)\) signifie \(\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}\).
- \(\vec{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A)\).
- Milieu de \([AB]\) : \(I\left(\frac{x_A + x_B}{2} ; \frac{y_A + y_B}{2}\right)\).
- Dans un repère orthonormé : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\) et \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
4. Déterminant et colinéarité
\[\det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y\]
\(\vec{u}(x ; y)\) et \(\vec{v}(x' ; y')\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow\) \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\).
Exemple
\(A(1 ; 2)\), \(B(3 ; 6)\), \(C(-1 ; -2)\). \(\vec{AB}(2 ; 4)\), \(\vec{AC}(-2 ; -4)\) : \(\det = 2\times(-4) - (-2)\times4 = 0\). Les points sont alignés.