1. Projection sur une droite
Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes. La projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) associe à tout point \(M\) le point \(M'\) de \((D)\) tel que \((MM')\parallel(\Delta)\) (si \(M\in(D)\), alors \(M' = M\)).
Figure — M' et N' projetés de M et N sur (D) parallèlement à (Δ)
Si \((\Delta)\perp(D)\), on parle de projection orthogonale sur \((D)\).
2. Propriété de conservation du milieu
La projection conserve le milieu : si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors son projeté \(I'\) est le milieu de \([A'B']\).
3. Conservation du rapport de deux vecteurs colinéaires
Si \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) ont pour projetés \(A'\), \(B'\), \(C'\), \(D'\) et si \(\overrightarrow{CD} = k\,\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{C'D'} = k\,\overrightarrow{A'B'}\).
En particulier, si \(\overrightarrow{AM} = k\,\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A'M'} = k\,\overrightarrow{A'B'}\).
4. Lien avec le théorème de Thalès
Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites coupées par des droites parallèles en \(A, B, C\) et \(A', B', C'\). La projection de \((D_1)\) sur \((D_2)\) parallèlement à ces droites donne :
C'est le théorème de Thalès dans sa forme générale.
Exemple
\(ABC\) est un triangle ; \(M\in[AB]\) avec \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AB}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\). Par projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(A\mapsto A\), \(B\mapsto C\), \(M\mapsto N\), donc \(\overrightarrow{AN} = \frac25\overrightarrow{AC}\).