Exercice 1
\(ABC\) est un triangle, \(I\) le milieu de \([BC]\). On projette sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\). Déterminer les projetés de \(A\), \(B\), \(C\), puis de \(I\).
Correction
\(A\mapsto A\) et \(B\mapsto B\) (ils sont sur \((AB)\)) ; \(C\mapsto A\) (la parallèle à \((AC)\) passant par \(C\) est \((AC)\), qui coupe \((AB)\) en \(A\)). La projection conserve le milieu : \(I\mapsto\) milieu de \([BA]\).
Exercice 2
Sur la droite \((D)\), les points \(A'\), \(B'\) sont les projetés de \(A\), \(B\) parallèlement à \((\Delta)\), avec \(A'B' = 6\) cm. \(M\) est le point de \([AB]\) tel que \(\overrightarrow{AM} = \frac13\overrightarrow{AB}\). Calculer \(A'M'\).
Correction
La projection conserve le rapport : \(\overrightarrow{A'M'} = \frac13\overrightarrow{A'B'}\) donc \(A'M' = 2\) cm.
Exercice 3
\(ABCD\) est un parallélogramme. On note \(P\) la projection sur \((AB)\) parallèlement à \((AD)\). Déterminer \(P(C)\), \(P(D)\) et le projeté du centre \(O\).
Correction
\((CB)\parallel(AD)\) donc \(P(C) = B\) ; \(D\in(AD)\), la parallèle à \((AD)\) par \(D\) est \((AD)\), donc \(P(D) = A\). \(O\) est le milieu de \([AC]\) : \(P(O)\) est le milieu de \([AB]\).
Exercice 4
\(ABC\) est un triangle. \(E\) est défini par \(\overrightarrow{AE} = \frac34\overrightarrow{AB}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(E\) coupe \((AC)\) en \(F\). Exprimer \(\overrightarrow{AF}\) en fonction de \(\overrightarrow{AC}\), puis \(\overrightarrow{EF}\) en fonction de \(\overrightarrow{BC}\).
Correction
Projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(\overrightarrow{AF} = \frac34\overrightarrow{AC}\). Alors \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AF} = -\frac34\overrightarrow{AB} + \frac34\overrightarrow{AC} = \frac34\overrightarrow{BC}\).