Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Définir la projection sur une droite \((D)\) parallèlement à une droite \((\Delta)\) sécante à \((D)\), puis énoncer la propriété de conservation du milieu.
Correction
Elle associe à tout point \(M\) le point \(M'\) de \((D)\) tel que \((MM')\parallel(\Delta)\). Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), son projeté est le milieu de \([A'B']\).
Exercice 2 (14 pts)
\(ABC\) est un triangle. \(M\) est le point défini par \(\overrightarrow{AM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(I\) est le milieu de \([BC]\). On note \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
- Déterminer \(p(A)\), \(p(B)\) et \(p(C)\).
- On pose \(N = p(M)\). Montrer que \(\overrightarrow{AN} = \frac23\overrightarrow{AC}\).
- En déduire que \(\overrightarrow{MN} = \frac23\overrightarrow{BC}\).
- Déterminer \(p(I)\).
Correction
- \(p(A) = A\) et \(p(C) = C\) (points de \((AC)\)) ; \(p(B) = C\) car \((BC)\) coupe \((AC)\) en \(C\).
- \(p\) conserve le rapport : \(\overrightarrow{AM} = \frac23\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{AN} = \frac23\overrightarrow{p(A)p(B)} = \frac23\overrightarrow{AC}\).
- \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = -\frac23\overrightarrow{AB} + \frac23\overrightarrow{AC} = \frac23\overrightarrow{BC}\).
- \(p(B) = p(C) = C\), et \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \(p(I)\) est le milieu de \([CC]\), donc \(p(I) = C\) (en effet \(I\in(BC)\)).