1. Vecteur directeur
Un vecteur directeur de la droite \((D)\) est un vecteur non nul \(\vec{u}\) dont la direction est celle de \((D)\).
2. Représentation paramétrique
La droite passant par \(A(x_A ; y_A)\) et dirigée par \(\vec{u}(\alpha ; \beta)\) :
\[\begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]
3. Équation cartésienne
Toute droite a une équation de la forme \(ax + by + c = 0\) avec \((a ; b) \neq (0 ; 0)\). Le vecteur \(\vec{u}(-b ; a)\) en est un vecteur directeur.
Pour trouver l'équation de la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec{u}\) : \(M(x;y) \in (D) \Leftrightarrow \det(\vec{AM}, \vec{u}) = 0\).
4. Équation réduite
Si la droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : \(y = mx + p\).
- \(m\) est le coefficient directeur (pente), \(p\) l'ordonnée à l'origine.
- Vecteur directeur : \(\vec{u}(1 ; m)\).
- Pente de \((AB)\) : \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
5. Positions relatives
Soient \((D) : y = mx + p\) et \((D') : y = m'x + p'\).
- \((D) \parallel (D') \Leftrightarrow m = m'\).
- \((D)\) et \((D')\) sont sécantes \(\Leftrightarrow m \neq m'\). Le point d'intersection est la solution du système formé par les deux équations.
- En repère orthonormé : \((D) \perp (D') \Leftrightarrow mm' = -1\).
Avec les équations cartésiennes : \((D) \parallel (D') \Leftrightarrow ab' - a'b = 0\).
Exemple
\((D) : y = 2x + 1\) et \((D') : y = -\frac12x + 3\). \(2\times(-\frac12) = -1\) : les droites sont perpendiculaires. Intersection : \(2x + 1 = -\frac12x + 3 \Leftrightarrow x = \frac45\), \(y = \frac{13}{5}\).