Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Repère orthonormé.
Exercice 1 (10 pts)
On donne \(A(-2 ; 1)\), \(B(2 ; 3)\) et \(C(4 ; -1)\).
- Déterminer l'équation réduite de \((AB)\). (2 pts)
- Déterminer une équation de la droite \((\Delta)\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\). (2 pts)
- Déterminer une équation de la hauteur issue de \(C\) dans le triangle \(ABC\). (3 pts)
- Calculer les coordonnées du pied \(H\) de cette hauteur. (3 pts)
Correction
- \(m = \frac{3 - 1}{2 + 2} = \frac12\), \(p = 1 + 1 = 2\) : \(y = \frac12x + 2\).
- \(y = \frac12x + p\) avec \(-1 = 2 + p\) : \(y = \frac12x - 3\).
- Pente \(-2\) : \(-1 = -8 + p\), \(p = 7\) : \(y = -2x + 7\).
- \(\frac12x + 2 = -2x + 7 \Leftrightarrow \frac52x = 5 \Leftrightarrow x = 2\), \(y = 3\). Donc \(H = B(2 ; 3)\) : le triangle est rectangle en \(B\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit la droite \((D_m) : (m - 1)x + 2y - m = 0\), où \(m\) est un réel.
- Pour quelle valeur de \(m\) la droite est-elle parallèle à l'axe des abscisses ? (2 pts)
- Pour quelle valeur de \(m\) passe-t-elle par \(E(2 ; 1)\) ? (2 pts)
- Pour quelle valeur de \(m\) est-elle parallèle à \((D) : x - y + 1 = 0\) ? (3 pts)
- Montrer que toutes les droites \((D_m)\) passent par un point fixe. (3 pts)
Correction
- Il faut \(m - 1 = 0\) : \(m = 1\) (droite \(y = \frac12\)).
- \(2(m - 1) + 2 - m = 0 \Leftrightarrow m = 0\).
- \((m - 1)(-1) - 1\times2 = 0 \Leftrightarrow -m + 1 - 2 = 0 \Leftrightarrow m = -1\).
- On écrit \(m(x - 1) - x + 2y = 0\) pour tout \(m\) : \(x = 1\) et \(-1 + 2y = 0\). Point fixe \((1 ; \frac12)\).