1. Polynômes
Un polynôme de degré \(n\) est une expression \(P(x) = a_nx^n + \dots + a_1x + a_0\) avec \(a_n \neq 0\).
Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.
2. Racine et factorisation
\(\alpha\) est une racine de \(P\) si \(P(\alpha) = 0\). Dans ce cas, \(P(x) = (x - \alpha)Q(x)\) avec \(\deg Q = \deg P - 1\).
On obtient \(Q\) par division euclidienne ou par identification des coefficients.
Exemple
\(P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2\). \(P(1) = 0\) donc \(P(x) = (x-1)(x^2 - x - 2) = (x-1)(x+1)(x-2)\).
3. Trinôme du second degré
Soit \(P(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \neq 0\).
Forme canonique
\[ax^2+bx+c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right] \quad \text{avec } \Delta = b^2 - 4ac\]
Résolution de \(ax^2 + bx + c = 0\)
- Si \(\Delta > 0\) : deux racines \(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\), et \(P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\).
- Si \(\Delta = 0\) : une racine double \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), et \(P(x) = a(x-x_0)^2\).
- Si \(\Delta < 0\) : pas de racine réelle, pas de factorisation.
Somme et produit des racines
\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}\]
4. Signe du trinôme
\(ax^2+bx+c\) est du signe de \(a\) sauf entre les racines (quand elles existent).
| Cas | Signe de \(P(x)\) |
|---|---|
| \(\Delta < 0\) | signe de \(a\) partout |
| \(\Delta = 0\) | signe de \(a\), nul en \(x_0\) |
| \(\Delta > 0\) | signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1 ; x_2]\), signe contraire à l'intérieur |
Exemple
Résoudre \(x^2 - 5x + 6 < 0\). \(\Delta = 25 - 24 = 1\), racines \(2\) et \(3\), \(a = 1 > 0\). Donc \(S = ]2 ; 3[\).