Exercice 1
Soit \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2\).
- Vérifier que \(2\) est racine de \(P\).
- Factoriser \(P(x)\) en produit de facteurs du premier degré.
Correction
- \(P(2) = 16 - 12 - 6 + 2 = 0\).
- \(P(x) = (x-2)(2x^2 + x - 1)\). Pour \(2x^2+x-1\) : \(\Delta = 1 + 8 = 9\), racines \(-1\) et \(\frac12\). Donc \(P(x) = (x-2)(x+1)(2x-1)\).
Exercice 2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(x^2 - 4x - 5 = 0\)
- \(4x^2 - 4x + 1 = 0\)
- \(x^2 + x + 3 = 0\)
Correction
- \(\Delta = 36\) : \(S = \{-1 ; 5\}\).
- \(\Delta = 0\) : \(S = \{\frac12\}\).
- \(\Delta = 1 - 12 = -11 < 0\) : \(S = \emptyset\).
Exercice 3
Résoudre les inéquations :
- \(-x^2 + 3x + 4 \ge 0\)
- \(2x^2 - x - 1 > 0\)
Correction
- Racines \(-1\) et \(4\), \(a = -1 < 0\) : positif entre les racines. \(S = [-1 ; 4]\).
- Racines \(-\frac12\) et \(1\), \(a = 2 > 0\) : \(S = ]-\infty ; -\frac12[ \cup ]1 ; +\infty[\).
Exercice 4
Trouver deux nombres dont la somme est \(10\) et le produit \(21\).
Correction
Ils sont racines de \(x^2 - 10x + 21 = 0\) : \(\Delta = 100 - 84 = 16\), donc \(3\) et \(7\).
Exercice 5
Écrire \(f(x) = 2x^2 - 8x + 5\) sous forme canonique et en déduire sa valeur minimale.
Correction
\(f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5 = 2[(x-2)^2 - 4] + 5 = 2(x-2)^2 - 3\). Minimum \(-3\), atteint en \(x = 2\).
Exercice 6
Pour quelles valeurs de \(m\) l'équation \(x^2 + mx + 4 = 0\) admet-elle une racine double ?
Correction
\(\Delta = m^2 - 16 = 0 \Leftrightarrow m = 4\) ou \(m = -4\).