Équations, inéquations et systèmes — Cours — Tronc commun

1. Équations du premier degré

L'équation \(ax + b = 0\) admet, si \(a \neq 0\), l'unique solution \(x = -\frac{b}{a}\). Si \(a = 0\) : aucune solution (\(b\neq0\)) ou tout \(\mathbb{R}\) (\(b = 0\)).

Équation produit

\[A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ ou } B = 0\]

Équation quotient

\[\frac{A}{B} = 0 \Leftrightarrow A = 0 \text{ et } B \neq 0\]

2. Inéquations du premier degré

Le signe de \(ax + b\) (\(a\neq0\)) est celui de \(a\) à droite de \(-\frac{b}{a}\), et le signe contraire à gauche.

\(x\)	\(-\infty\)	\(-\frac{b}{a}\)	\(+\infty\)
\(ax+b\)	signe de \(-a\)	0	signe de \(a\)

Pour un produit ou un quotient, on dresse un tableau de signes.

3. Équations et inéquations du second degré

Voir le chapitre « Polynômes » : discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) et signe du trinôme.

Équations bicarrées

\(ax^4 + bx^2 + c = 0\) : on pose \(X = x^2\) (avec \(X \ge 0\)).

4. Systèmes de deux équations à deux inconnues

\[\begin{cases} ax + by = c \\ a'x + b'y = c' \end{cases}\]

Le déterminant est \(D = ab' - a'b\). Si \(D \neq 0\), le système admet une unique solution :

\[x = \frac{D_x}{D} = \frac{cb' - c'b}{ab' - a'b} \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{ac' - a'c}{ab' - a'b}\]

Si \(D = 0\) : aucune solution ou une infinité de solutions. On peut aussi résoudre par substitution ou par combinaison linéaire.

Exemple

\(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\) : \(D = -2 - 1 = -3\), \(D_x = -5 - 1 = -6\), \(D_y = 2 - 5 = -3\). Donc \(x = 2\), \(y = 1\).

5. Inéquations à deux inconnues

L'ensemble des points \(M(x ; y)\) tels que \(ax + by + c > 0\) est un demi-plan limité par la droite \(ax + by + c = 0\). On le détermine en testant un point (souvent l'origine).