Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x + 1}\) (2 pts)
- \((x - 2)^2 = 4(x - 2)\) (2 pts)
- \(\frac{x+3}{2 - x} \ge 0\) (2 pts)
Correction
- \(x\neq\pm1\) : \(3(x+1) = 2(x-1) \Leftrightarrow x = -5\). \(S = \{-5\}\).
- \((x-2)(x-2-4) = 0\) : \(S = \{2 ; 6\}\).
- Racine \(-3\), valeur interdite \(2\) : \(S = [-3 ; 2[\).
Exercice 2 (7 pts)
- Résoudre \(\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - 3y = -1 \end{cases}\) (3 pts)
- En déduire les solutions de \(\begin{cases} \sqrt{a} + \sqrt{b} = 7 \\ 2\sqrt{a} - 3\sqrt{b} = -1 \end{cases}\) (2 pts)
- Déterminer deux réels de somme \(7\) et de produit \(12\). (2 pts)
Correction
- \(D = -3 - 2 = -5\), \(D_x = -21 + 1 = -20\), \(D_y = -1 - 14 = -15\) : \((x ; y) = (4 ; 3)\).
- \(\sqrt{a} = 4\) et \(\sqrt{b} = 3\) : \(a = 16\), \(b = 9\).
- Racines de \(t^2 - 7t + 12 = 0\) : \(3\) et \(4\).
Exercice 3 (7 pts)
- Résoudre \(2x^2 - 3x - 2 \le 0\). (3 pts)
- Représenter dans un repère l'ensemble des points \(M(x ; y)\) tels que \(\begin{cases} x + y - 2 \le 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}\) et décrire sa forme. (4 pts)
Correction
- \(\Delta = 9 + 16 = 25\), racines \(-\frac12\) et \(2\), \(a > 0\) : \(S = [-\frac12 ; 2]\).
- Le point \(O(0;0)\) vérifie \(0 + 0 - 2 \le 0\) : on garde le demi-plan contenant \(O\). Avec \(x\ge0\) et \(y\ge0\), on obtient le triangle de sommets \((0;0)\), \((2;0)\), \((0;2)\).