1. Le radian
Un angle de \(180^{\circ}\) mesure \(\pi\) radians. Pour convertir : \(\alpha_{\text{rad}} = \frac{\pi}{180} \times \alpha_{\text{deg}}\).
| Degrés | \(0\) | \(30\) | \(45\) | \(60\) | \(90\) | \(180\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
2. Le cercle trigonométrique
C'est le cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre). À chaque réel \(x\) correspond un point \(M\) du cercle. Les réels \(x + 2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) donnent le même point.
Abscisse curviligne principale
C'est l'unique mesure appartenant à \(]-\pi ; \pi]\).
3. Cosinus, sinus, tangente
Si \(M\) est le point associé à \(x\), alors \(M(\cos x ; \sin x)\) et \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) (pour \(\cos x \neq 0\)).
\[\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad -1 \le \cos x \le 1 \qquad -1 \le \sin x \le 1 \qquad 1 + \tan^2x = \frac{1}{\cos^2 x}\]
Valeurs remarquables
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac12\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac12\) | \(\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\frac{\sqrt3}{2}\) | \(1\) |
| \(\tan x\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt3}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | — |
4. Angles associés
- \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\)
- \(\cos(\pi - x) = -\cos x\), \(\sin(\pi - x) = \sin x\)
- \(\cos(\pi + x) = -\cos x\), \(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
- \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\), \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\)
- \(\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x\), \(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x\)
5. Équations trigonométriques
\[\cos x = \cos a \Leftrightarrow x = a + 2k\pi \text{ ou } x = -a + 2k\pi\]
\[\sin x = \sin a \Leftrightarrow x = a + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - a + 2k\pi\]
\[\tan x = \tan a \Leftrightarrow x = a + k\pi\]
Exemple
\(\cos x = \frac12 = \cos\frac{\pi}{3}\) : \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).