1. Définitions
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) de son ensemble de définition \(D_f\) un unique réel \(f(x)\), appelé image de \(x\).
Si \(f(a) = b\), on dit que \(a\) est un antécédent de \(b\).
Ensemble de définition usuel
- \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) : défini si \(Q(x) \neq 0\).
- \(\sqrt{P(x)}\) : défini si \(P(x) \ge 0\).
2. Parité
Soit \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\).
- \(f\) est paire si \(f(-x) = f(x)\) : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- \(f\) est impaire si \(f(-x) = -f(x)\) : courbe symétrique par rapport à l'origine.
3. Sens de variation
\(f\) est croissante sur \(I\) si pour tous \(a < b\) dans \(I\) : \(f(a) \le f(b)\). Décroissante si \(f(a) \ge f(b)\).
Taux de variation
\[T = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \quad (a \neq b)\]
\(f\) est croissante sur \(I\) si \(T \ge 0\) pour tous \(a\neq b\) de \(I\), décroissante si \(T \le 0\).
4. Extremums
\(f(a)\) est le maximum de \(f\) sur \(I\) si \(f(x) \le f(a)\) pour tout \(x \in I\) ; minimum si \(f(x) \ge f(a)\).
5. Comparaison et position relative
- \(f \le g\) sur \(I\) : la courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\).
- Les solutions de \(f(x) = g(x)\) sont les abscisses des points d'intersection.
6. Fonctions associées
À partir de la courbe de \(f\) :
- \(y = f(x) + k\) : translation verticale de vecteur \(k\vec{j}\).
- \(y = f(x + a)\) : translation horizontale de vecteur \(-a\vec{i}\).
- \(y = -f(x)\) : symétrie par rapport à l'axe des abscisses.
- \(y = |f(x)|\) : on garde la partie au-dessus et on symétrise la partie en dessous.
Exemple
\(f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}\) est définie sur \(\mathbb{R}\) et \(f(-x) = \frac{-x}{x^2+1} = -f(x)\) : \(f\) est impaire.