Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 1}{x}\).
- Déterminer \(D_f\). (1 pt)
- Étudier la parité de \(f\). (2 pts)
- Montrer que pour tout \(x > 0\), \(f(x) \ge 2\). Interpréter. (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}^*\).
- \(f(-x) = \frac{x^2+1}{-x} = -f(x)\) : \(f\) est impaire.
- \(f(x) - 2 = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x} \ge 0\) pour \(x > 0\). Donc \(2\) est le minimum de \(f\) sur \(]0 ; +\infty[\), atteint en \(x = 1\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(g(x) = -2x^2 + 8x - 5\).
- Écrire \(g(x)\) sous la forme \(a(x - \alpha)^2 + \beta\). (2 pts)
- Calculer le taux de variation de \(g\) entre \(a\) et \(b\) (\(a\neq b\)). (2 pts)
- En déduire les variations de \(g\) et dresser son tableau de variation. (3 pts)
- Quel est l'extremum de \(g\) ? (1 pt)
Correction
- \(g(x) = -2(x^2 - 4x) - 5 = -2(x-2)^2 + 3\).
- \(T = -2(a + b) + 8\).
- Sur \(]-\infty ; 2]\) : \(a+b < 4\), \(T > 0\), \(g\) croissante. Sur \([2 ; +\infty[\) : \(T < 0\), \(g\) décroissante.
- Maximum \(g(2) = 3\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(h(x) = |x - 1| + |x + 1|\).
- Écrire \(h(x)\) sans valeur absolue sur \(]-\infty ; -1]\), \([-1 ; 1]\) et \([1 ; +\infty[\). (3 pts)
- Montrer que \(h\) est paire. (1 pt)
- Résoudre \(h(x) = 4\). (2 pts)
Correction
- \(x \le -1\) : \(h(x) = -2x\). \(-1 \le x \le 1\) : \(h(x) = 2\). \(x \ge 1\) : \(h(x) = 2x\).
- \(h(-x) = |-x-1| + |-x+1| = |x+1| + |x-1| = h(x)\).
- \(-2x = 4\) donne \(x = -2\) ; \(2x = 4\) donne \(x = 2\). \(S = \{-2 ; 2\}\).