1. Fonction affine \(f(x) = ax + b\)
Courbe : droite de pente \(a\). Croissante si \(a > 0\), décroissante si \(a < 0\), constante si \(a = 0\).
2. Fonction \(f(x) = ax^2\)
Courbe : parabole de sommet \(O\), d'axe l'axe des ordonnées. Fonction paire.
- Si \(a > 0\) : décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\), minimum \(0\).
- Si \(a < 0\) : l'inverse, maximum \(0\).
3. Fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\)
On écrit \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\) avec \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
La courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha ; \beta)\) et d'axe la droite \(x = \alpha\). C'est l'image de la parabole \(y = ax^2\) par la translation de vecteur \(\alpha\vec{i} + \beta\vec{j}\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\alpha\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(a > 0\) | décroissante | min \(\beta\) | croissante |
| \(a < 0\) | croissante | max \(\beta\) | décroissante |
4. Fonction \(f(x) = \frac{a}{x}\)
Définie sur \(\mathbb{R}^*\), impaire. Courbe : hyperbole de centre \(O\) et d'asymptotes les axes.
- Si \(a > 0\) : décroissante sur \(]-\infty ; 0[\) et sur \(]0 ; +\infty[\).
- Si \(a < 0\) : croissante sur chacun de ces intervalles.
5. Fonction homographique \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}\) (\(c \neq 0\))
On l'écrit \(f(x) = \beta + \frac{k}{x - \alpha}\) avec \(\alpha = -\frac{d}{c}\). La courbe est une hyperbole de centre \(\Omega(\alpha ; \beta)\), d'asymptotes \(x = \alpha\) et \(y = \beta = \frac{a}{c}\).
Exemple
\(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1}\). Centre \(\Omega(1 ; 2)\). Comme \(3 > 0\), \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\).
6. Fonctions \(\sqrt{x}\) et \(x^3\)
- \(\sqrt{x}\) : définie et croissante sur \([0 ; +\infty[\).
- \(x^3\) : définie sur \(\mathbb{R}\), impaire, croissante.