Exercice 1
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).
- Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.
- Donner le sommet et l'axe de symétrie de la parabole.
- Dresser le tableau de variation de \(f\).
- Déterminer les points d'intersection avec les axes.
Correction
- \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\).
- Sommet \(S(3 ; -4)\), axe \(x = 3\).
- Décroissante sur \(]-\infty ; 3]\), croissante sur \([3 ; +\infty[\), minimum \(-4\).
- Axe des ordonnées : \((0 ; 5)\). Axe des abscisses : \((x-3)^2 = 4\), soit \((1 ; 0)\) et \((5 ; 0)\).
Exercice 2
Soit \(g(x) = -2x^2 + 4x + 6\). Déterminer son maximum.
Correction
\(g(x) = -2(x - 1)^2 + 8\) : maximum \(8\) atteint en \(x = 1\).
Exercice 3
Soit \(h(x) = \frac{x - 3}{x + 1}\).
- Déterminer \(D_h\).
- Écrire \(h(x) = \beta + \frac{k}{x - \alpha}\).
- Donner le centre de l'hyperbole et les variations de \(h\).
Correction
- \(D_h = \mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
- \(h(x) = \frac{(x + 1) - 4}{x + 1} = 1 - \frac{4}{x + 1}\).
- Centre \(\Omega(-1 ; 1)\). \(k = -4 < 0\) : \(h\) est croissante sur \(]-\infty ; -1[\) et sur \(]-1 ; +\infty[\).
Exercice 4
Résoudre graphiquement puis algébriquement \(\frac{2}{x} = x + 1\).
Correction
Pour \(x\neq0\) : \(2 = x^2 + x \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ou \(x = -2\). Ce sont les abscisses des intersections de l'hyperbole \(y = \frac2x\) et de la droite \(y = x+1\) : points \((1 ; 2)\) et \((-2 ; -1)\).
Exercice 5
Comparer sans calculatrice \(\frac{3}{\sqrt{2}}\) et \(\frac{3}{1{,}5}\) en utilisant les variations de \(x \mapsto \frac{3}{x}\).
Correction
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5\) et \(x\mapsto\frac3x\) est décroissante sur \(]0 ; +\infty[\), donc \(\frac{3}{\sqrt2} > \frac{3}{1{,}5} = 2\).