1. Les quatre transformations
Symétrie centrale de centre \(\Omega\) : \(M\mapsto M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\), c'est-à-dire \(\overrightarrow{\Omega M'} = -\overrightarrow{\Omega M}\).
Symétrie axiale d'axe \((D)\) : \(M\mapsto M'\) tel que \((D)\) soit la médiatrice de \([MM']\).
Translation de vecteur \(\vec u\) : \(M\mapsto M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec u\).
Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\neq0\) : \(M\mapsto M'\) tel que \(\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}\).
Figure — A'B'C' image de ABC par l'homothétie de centre Ω et de rapport 2
2. Propriété caractéristique
- Translation : si \(M\mapsto M'\) et \(N\mapsto N'\), alors \(\overrightarrow{M'N'} = \overrightarrow{MN}\).
- Homothétie de rapport \(k\) : \(\overrightarrow{M'N'} = k\,\overrightarrow{MN}\), donc \(M'N' = |k|\,MN\).
La symétrie centrale est l'homothétie de rapport \(-1\).
3. Propriétés de conservation
Ces transformations conservent l'alignement, le parallélisme, les mesures d'angles orientés (sauf la symétrie axiale qui inverse l'orientation) et le milieu.
Les symétries et la translation conservent les distances (ce sont des isométries) ; une homothétie de rapport \(k\) multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\).
4. Images de figures
- L'image d'une droite est une droite (parallèle à la droite de départ pour une translation, une symétrie centrale ou une homothétie).
- L'image d'un cercle de centre \(O\) et de rayon \(r\) est un cercle de centre \(O'\) (image de \(O\)) et de rayon \(r\) (isométrie) ou \(|k|r\) (homothétie).
Exemple
L'homothétie \(h\) de centre \(\Omega\) et de rapport \(-\frac12\) transforme un segment de \(8\) cm en un segment de \(4\) cm, et un triangle d'aire \(20\) cm² en un triangle d'aire \(20\times\frac14 = 5\) cm².