1. Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs non nuls d'angle \(\theta\) :
\[\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta\]
Si l'un est nul, \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).
Projection orthogonale
Si \(H\) est le projeté orthogonal de \(C\) sur \((AB)\) : \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH}\), égal à \(AB\times AH\) si \(\vec{AB}\) et \(\vec{AH}\) sont de même sens, \(-AB\times AH\) sinon.
2. Propriétés
- \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}\) ; \(\vec{u}\cdot(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}\) ; \((k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})\).
- \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\).
- \((\vec{u}+\vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2\).
\(\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).
3. Expression analytique (repère orthonormé)
\[\vec{u}(x ; y),\ \vec{v}(x' ; y') : \quad \vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\]
4. Applications dans le triangle
Théorème d'Al-Kashi
\[BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\times AC\times\cos\widehat{A}\]
Théorème de la médiane
Si \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}\).
5. Vecteur normal et équation de droite
Un vecteur non nul \(\vec{n}(a ; b)\) est normal à la droite \((D)\) s'il est orthogonal à un vecteur directeur. Alors \((D) : ax + by + c = 0\).
La droite passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec{n}\) : \(M\in(D) \Leftrightarrow \vec{AM}\cdot\vec{n} = 0\).
Distance d'un point à une droite
\[d(A, (D)) = \frac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
6. Équation d'un cercle
Le cercle de centre \(\Omega(a ; b)\) et de rayon \(r\) : \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\).