Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Repère orthonormé.
Exercice 1 (6 pts)
Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB = 5\), \(AC = 7\) et \(BC = 8\).
- Calculer \(\cos\widehat{BAC}\) et en déduire la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\). (3 pts)
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). (1 pt)
- Calculer la longueur de la médiane \(AI\) où \(I\) est le milieu de \([BC]\). (2 pts)
Correction
- \(64 = 25 + 49 - 70\cos\widehat{A}\) : \(\cos\widehat{A} = \frac{10}{70} = \frac17\), soit \(\widehat{A} \approx 81{,}8^{\circ}\).
- \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 5\times7\times\frac17 = 5\).
- \(25 + 49 = 2AI^2 + 32\) : \(AI^2 = 21\), \(AI = \sqrt{21}\).
Exercice 2 (8 pts)
On donne \(A(1 ; 1)\), \(B(5 ; 3)\), \(C(2 ; 4)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) et \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}\). (2 pts)
- Déterminer une équation de la hauteur issue de \(C\). (3 pts)
- Calculer la distance de \(C\) à la droite \((AB)\) et en déduire l'aire du triangle \(ABC\). (3 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(4 ; 2)\), \(\vec{AC}(1 ; 3)\) : \(4 + 6 = 10\). \(\vec{BA}(-4 ; -2)\), \(\vec{BC}(-3 ; 1)\) : \(12 - 2 = 10\).
- \(\vec{AB}\) est normal à la hauteur : \(4(x - 2) + 2(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 8 = 0\).
- \((AB)\) : normal \(\vec{n}(1 ; -2)\), \(x - 2y + 1 = 0\). \(d = \frac{|2 - 8 + 1|}{\sqrt5} = \sqrt5\). \(AB = 2\sqrt5\), aire \(= \frac12\times2\sqrt5\times\sqrt5 = 5\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \((C)\) le cercle d'équation \(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 4 = 0\).
- Déterminer son centre \(\Omega\) et son rayon \(r\). (2 pts)
- Vérifier que \(E(2 ; 2)\) appartient à \((C)\). (1 pt)
- Déterminer l'équation de la tangente à \((C)\) en \(E\). (3 pts)
Correction
- \((x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\) : \(\Omega(-1 ; 2)\), \(r = 3\).
- \(4 + 4 + 4 - 8 - 4 = 0\) : oui.
- \(\vec{\Omega E}(3 ; 0)\) est normal à la tangente : \(3(x - 2) = 0\), soit \(x = 2\).