Exercice 1
\(ABC\) est un triangle avec \(AB = 4\), \(AC = 3\) et \(\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).
- Calculer \(BC\).
Correction
- \(4\times3\times\cos\frac{\pi}{3} = 6\).
- \(BC^2 = 16 + 9 - 2\times6 = 13\) : \(BC = \sqrt{13}\).
Exercice 2
Dans un repère orthonormé : \(A(1 ; 2)\), \(B(4 ; 3)\), \(C(2 ; 5)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).
- En déduire une valeur approchée de l'angle \(\widehat{BAC}\).
Correction
- \(\vec{AB}(3 ; 1)\), \(\vec{AC}(1 ; 3)\) : \(3 + 3 = 6\).
- \(AB = AC = \sqrt{10}\) : \(\cos\widehat{A} = \frac{6}{10} = 0{,}6\), donc \(\widehat{A} \approx 53{,}13^{\circ}\).
Exercice 3
Déterminer \(m\) pour que \(\vec{u}(m ; 3)\) et \(\vec{v}(2 ; m - 5)\) soient orthogonaux.
Correction
\(2m + 3(m - 5) = 0 \Leftrightarrow 5m = 15 \Leftrightarrow m = 3\).
Exercice 4
Déterminer l'équation de la droite passant par \(A(2 ; -1)\) de vecteur normal \(\vec{n}(3 ; 4)\), puis calculer la distance de \(O\) à cette droite.
Correction
\(3(x - 2) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2 = 0\). \(d(O, D) = \frac{|-2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac25\).
Exercice 5
Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).
Correction
\((x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16\). Centre \((2 ; -3)\), rayon \(4\).