Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Recopier et compléter :
- \(M'\) est l'image de \(M\) par l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) signifie : …
- Si \(h(M) = M'\) et \(h(N) = N'\) (\(h\) homothétie de rapport \(k\)), alors \(\overrightarrow{M'N'} = \dots\)
- La symétrie de centre \(\Omega\) est l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport …
Correction
- \(\overrightarrow{\Omega M'} = k\,\overrightarrow{\Omega M}\). 2. \(k\,\overrightarrow{MN}\). 3. \(-1\).
Exercice 2 (8 pts)
\(ABCD\) est un trapèze tel que \((AB)\parallel(CD)\) et \(\overrightarrow{DC} = \frac12\overrightarrow{AB}\). Les droites \((AD)\) et \((BC)\) se coupent en \(E\).
- Montrer que \(D\) et \(C\) sont les images de \(A\) et \(B\) par une homothétie \(h\) de centre \(E\) dont on donnera le rapport.
- En déduire \(\overrightarrow{ED}\) en fonction de \(\overrightarrow{EA}\).
Correction
- Par Thalès dans le triangle \(EAB\) avec \((DC)\parallel(AB)\) : \(\frac{ED}{EA} = \frac{EC}{EB} = \frac{DC}{AB} = \frac12\), avec \(D\in[EA]\) et \(C\in[EB]\) (\(\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{AB}\) de même sens). L'homothétie de centre \(E\) et de rapport \(\frac12\) envoie \(A\) sur \(D\) et \(B\) sur \(C\).
- \(\overrightarrow{ED} = \frac12\overrightarrow{EA}\).
Exercice 3 (6 pts)
Dans un repère, \(\Omega(0\,;1)\), \(A(2\,;3)\), \(B(4\,;1)\). Déterminer les coordonnées de \(A'\) et \(B'\), images de \(A\) et \(B\) par l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-2\), puis vérifier que \(A'B' = 2AB\).
Correction
\(\overrightarrow{\Omega A}(2\,;2)\) donne \(\overrightarrow{\Omega A'}(-4\,;-4)\), \(A'(-4\,;-3)\). \(\overrightarrow{\Omega B}(4\,;0)\) donne \(\overrightarrow{\Omega B'}(-8\,;0)\), \(B'(-8\,;1)\). \(AB = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt2\) ; \(A'B' = \sqrt{16 + 16} = 4\sqrt2 = 2AB\).