Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(f(x) = \frac12x^2 - 2x - 1\) et \((C_f)\) sa courbe.
- Écrire \(f(x)\) sous forme canonique. (2 pts)
- Préciser la nature de \((C_f)\), son sommet et son axe. (2 pts)
- Dresser le tableau de variation de \(f\). (2 pts)
- Résoudre \(f(x) = -1\) et interpréter. (2 pts)
- Résoudre \(f(x) \le 5\). (2 pts)
Correction
- \(f(x) = \frac12(x^2 - 4x) - 1 = \frac12(x - 2)^2 - 3\).
- Parabole de sommet \(S(2 ; -3)\), axe \(x = 2\), tournée vers le haut.
- Décroissante sur \(]-\infty ; 2]\), croissante sur \([2 ; +\infty[\), minimum \(-3\).
- \(\frac12x^2 - 2x = 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0\) : \(x = 0\) ou \(x = 4\). Points \((0 ; -1)\) et \((4 ; -1)\), symétriques par rapport à l'axe.
- \(\frac12(x-2)^2 \le 8 \Leftrightarrow (x - 2)^2 \le 16 \Leftrightarrow -4 \le x - 2 \le 4\) : \(S = [-2 ; 6]\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(g(x) = \frac{2x - 1}{x - 2}\).
- Déterminer \(D_g\) et écrire \(g(x) = a + \frac{b}{x - 2}\). (3 pts)
- Donner le centre de symétrie et les asymptotes de \((C_g)\). (2 pts)
- Étudier les variations de \(g\). (2 pts)
- Résoudre \(g(x) = x\). (3 pts)
Correction
- \(D_g = \mathbb{R}\setminus\{2\}\). \(g(x) = \frac{2(x - 2) + 3}{x - 2} = 2 + \frac{3}{x - 2}\).
- Centre \(\Omega(2 ; 2)\), asymptotes \(x = 2\) et \(y = 2\).
- \(3 > 0\) : \(g\) décroissante sur \(]-\infty ; 2[\) et sur \(]2 ; +\infty[\).
- \(2x - 1 = x^2 - 2x \Leftrightarrow x^2 - 4x + 1 = 0\), \(\Delta = 12\) : \(x = 2 - \sqrt3\) ou \(x = 2 + \sqrt3\).