Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Placer sur le cercle trigonométrique les points associés à \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{5\pi}{6}\) et \(-\frac{3\pi}{4}\). (2 pts)
- Calculer \(B = \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{2\pi}{5} + \cos\frac{3\pi}{5} + \cos\frac{4\pi}{5}\). (3 pts)
Correction
- Sur le cercle : \(\frac{\pi}{3}\) (premier quadrant), \(\frac{5\pi}{6}\) (deuxième), \(-\frac{3\pi}{4}\) (troisième).
- \(\cos\frac{4\pi}{5} = \cos(\pi - \frac{\pi}{5}) = -\cos\frac{\pi}{5}\) et \(\cos\frac{3\pi}{5} = -\cos\frac{2\pi}{5}\). Donc \(B = 0\).
Exercice 2 (7 pts)
Soit \(x\in]0 ; \frac{\pi}{2}[\) tel que \(\cos x = \frac{1}{3}\).
- Calculer \(\sin x\) et \(\tan x\). (3 pts)
- En déduire \(\cos(\pi - x)\), \(\sin(\pi + x)\) et \(\cos(\frac{\pi}{2} - x)\). (4 pts)
Correction
- \(\sin^2 x = 1 - \frac19 = \frac89\), \(\sin x > 0\) : \(\sin x = \frac{2\sqrt2}{3}\). \(\tan x = 2\sqrt2\).
- \(\cos(\pi - x) = -\frac13\) ; \(\sin(\pi + x) = -\frac{2\sqrt2}{3}\) ; \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x = \frac{2\sqrt2}{3}\).
Exercice 3 (8 pts)
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x = \cos\frac{\pi}{7}\). (2 pts)
- Résoudre dans \(]-\pi ; \pi]\) : \(2\sin x - 1 = 0\). (3 pts)
- Résoudre dans \([0 ; 2\pi[\) : \(2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0\) (poser \(X = \cos x\)). (3 pts)
Correction
- \(x = \frac{\pi}{7} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{7} + 2k\pi\).
- \(\sin x = \frac12\) : \(S = \{\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\}\).
- \(2X^2 - X - 1 = 0\) : \(X = 1\) ou \(X = -\frac12\). \(\cos x = 1\) : \(x = 0\). \(\cos x = -\frac12\) : \(x = \frac{2\pi}{3}\) ou \(\frac{4\pi}{3}\). \(S = \{0 ; \frac{2\pi}{3} ; \frac{4\pi}{3}\}\).