Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (7 pts)
Soit \(P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6\).
- Calculer \(P(-1)\). (1 pt)
- Déterminer \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(P(x) = (x+1)(ax^2 + bx + c)\). (3 pts)
- Résoudre \(P(x) = 0\) puis \(P(x) \le 0\). (3 pts)
Correction
- \(P(-1) = -1 + 2 + 5 - 6 = 0\).
- \((x+1)(ax^2+bx+c) = ax^3 + (a+b)x^2 + (b+c)x + c\) : \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = -6\).
- \(x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)\). Racines : \(-3\), \(-1\), \(2\). Tableau de signes : \(P(x) \le 0\) pour \(x \in ]-\infty ; -3] \cup [-1 ; 2]\).
Exercice 2 (7 pts)
- Résoudre \(2x^2 - 7x + 3 = 0\). (2 pts)
- En déduire les solutions de \(2x^4 - 7x^2 + 3 = 0\) (poser \(X = x^2\)). (3 pts)
- Résoudre \(\frac{2x^2 - 7x + 3}{x - 1} \ge 0\). (2 pts)
Correction
- \(\Delta = 49 - 24 = 25\) : \(x = \frac12\) ou \(x = 3\).
- \(X = \frac12\) ou \(X = 3\) : \(x = \pm\frac{\sqrt2}{2}\) ou \(x = \pm\sqrt3\).
- Signes de \((2x-1)(x-3)\) et de \(x - 1\) : \(S = [\frac12 ; 1[ \cup [3 ; +\infty[\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit l'équation \((E)\) : \(x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 3 = 0\), où \(m\) est un réel.
- Calculer le discriminant réduit \(\Delta'\) en fonction de \(m\). (2 pts)
- Pour quelles valeurs de \(m\) \((E)\) a-t-elle deux solutions distinctes ? (2 pts)
- Pour \(m = 3\), calculer la somme et le produit des solutions sans les calculer. (2 pts)
Correction
- \(\Delta' = (m+1)^2 - (m^2+3) = 2m - 2\).
- \(\Delta' > 0 \Leftrightarrow m > 1\).
- \(m = 3\) : somme \(= 2(m+1) = 8\), produit \(= m^2 + 3 = 12\) (solutions \(2\) et \(6\)).