Exercice 1
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(1 ; -2)\) et dirigée par \(\vec{u}(3 ; 1)\).
Correction
\(\vec{AM}(x - 1 ; y + 2)\). \(\det(\vec{AM}, \vec{u}) = (x - 1)\times1 - 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0\).
Exercice 2
Déterminer l'équation réduite de la droite \((AB)\) avec \(A(2 ; 3)\) et \(B(4 ; 7)\).
Correction
\(m = \frac{7 - 3}{4 - 2} = 2\). \(3 = 2\times2 + p\), donc \(p = -1\) : \(y = 2x - 1\).
Exercice 3
Donner une représentation paramétrique de la droite \((D) : 2x - y + 4 = 0\).
Correction
\(\vec{u}(1 ; 2)\) est directeur et \(A(0 ; 4)\in(D)\) : \(\begin{cases} x = t \\ y = 4 + 2t \end{cases}\), \(t \in\mathbb{R}\).
Exercice 4
Étudier la position relative des droites :
- \((D_1) : y = 3x - 2\) et \((D_2) : 6x - 2y + 5 = 0\)
- \((D_3) : x + 2y - 3 = 0\) et \((D_4) : 2x - y + 4 = 0\)
Correction
- \((D_2) : y = 3x + \frac52\) : même pente, ordonnées différentes : parallèles strictement.
- Pentes \(-\frac12\) et \(2\), produit \(-1\) : perpendiculaires. Intersection : \(x = -1\), \(y = 2\).
Exercice 5
Déterminer l'équation de la droite passant par \(A(1 ; 4)\) et perpendiculaire à \((D) : y = \frac13x + 2\).
Correction
Pente \(m' = -3\). \(4 = -3 + p\), \(p = 7\) : \(y = -3x + 7\).