Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (8 pts)
Dans un repère orthonormé, \(A(-1 ; 2)\), \(B(3 ; 0)\), \(C(1 ; 4)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (2 pts)
- Montrer que \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. (2 pts)
- Calculer \(AB\), \(AC\), \(BC\). Quelle est la nature du triangle \(ABC\) ? (4 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(4 ; -2)\), \(\vec{AC}(2 ; 2)\).
- \(\det = 4\times2 - 2\times(-2) = 12 \neq 0\) : non alignés.
- \(AB = \sqrt{20}\), \(AC = \sqrt8\), \(BC = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}\). \(AB = BC\) : triangle isocèle en \(B\).
Exercice 2 (6 pts)
Soient \(\vec{u}(2 ; -3)\) et \(\vec{v}(-1 ; 4)\).
- Calculer les coordonnées de \(\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}\). (2 pts)
- Trouver \(a\) et \(b\) tels que \(a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{t}\) avec \(\vec{t}(3 ; 2)\). (4 pts)
Correction
- \(\vec{w}(4 - 3 ; -6 + 12) = (1 ; 6)\).
- \(\begin{cases} 2a - b = 3 \\ -3a + 4b = 2 \end{cases}\) : \(b = 2a - 3\), puis \(-3a + 8a - 12 = 2\), \(a = \frac{14}{5}\), \(b = \frac{13}{5}\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(E\), \(F\) définis par \(\vec{AE} = \frac32\vec{AB}\) et \(\vec{AF} = 3\vec{AD}\).
- Exprimer \(\vec{CE}\) et \(\vec{CF}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\). (4 pts)
- En déduire que \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés. (2 pts)
Correction
- \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\). \(\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC} = \frac12\vec{AB} - \vec{AD}\). \(\vec{CF} = \vec{AF} - \vec{AC} = -\vec{AB} + 2\vec{AD}\).
- \(\vec{CF} = -2\vec{CE}\) : vecteurs colinéaires, donc \(C\), \(E\), \(F\) alignés.