Exercice 1
Soit \(ABC\) un triangle. Simplifier :
- \(\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC}\)
- \(\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{BC}\)
Correction
- \(\vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{CC} = \vec{0}\).
- \(\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{BC} = \vec{0}\) (car \(-\vec{AC} = \vec{CA}\)).
Exercice 2
On donne \(A(2 ; -1)\), \(B(4 ; 3)\) et \(C(-1 ; 5)\) dans un repère orthonormé.
- Calculer les coordonnées de \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et du milieu \(I\) de \([BC]\).
- Calculer \(AB\) et \(AC\).
- Déterminer les coordonnées de \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme.
Correction
- \(\vec{AB}(2 ; 4)\), \(\vec{AC}(-3 ; 6)\), \(I(\frac32 ; 4)\).
- \(AB = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt5\) ; \(AC = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt5\).
- \(\vec{CD} = \vec{AB}\) : \(D(-1 + 2 ; 5 + 4) = (1 ; 9)\).
Exercice 3
Les points \(A(1 ; 1)\), \(B(4 ; 3)\) et \(C(10 ; 7)\) sont-ils alignés ?
Correction
\(\vec{AB}(3 ; 2)\), \(\vec{AC}(9 ; 6)\) : \(\det = 3\times6 - 9\times2 = 0\). Oui, alignés (\(\vec{AC} = 3\vec{AB}\)).
Exercice 4
Déterminer \(m\) pour que \(\vec{u}(m ; 2)\) et \(\vec{v}(8 ; m)\) soient colinéaires.
Correction
\(\det = m^2 - 16 = 0\) : \(m = 4\) ou \(m = -4\).
Exercice 5
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\) défini par \(\vec{AM} = \frac13\vec{AB}\) et \(N\) par \(\vec{AN} = \frac13\vec{AC}\). Montrer que \((MN) \parallel (BC)\).
Correction
\(\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AN} = -\frac13\vec{AB} + \frac13\vec{AC} = \frac13(\vec{BA} + \vec{AC}) = \frac13\vec{BC}\). Les vecteurs sont colinéaires, donc \((MN)\parallel(BC)\).