L'essentiel en une page
| Transformation | Caractérisation |
|---|---|
| Translation de vecteur \(\vec u\) | \(\vec{MM'} = \vec u\) |
| Symétrie centrale de centre \(O\) | \(O\) est le milieu de \([MM']\) |
| Symétrie axiale d'axe \((D)\) | \((D)\) est la médiatrice de \([MM']\) |
| Homothétie de centre \(I\), rapport \(k\) | \(\vec{IM'} = k\vec{IM}\) |
Isométries. Translation, symétries et rotation conservent longueurs, angles et aires.
| Homothétie de rapport \(k\) | Effet |
|---|---|
| Longueurs | \(\times\lvert k\rvert\) |
| Aires | \(\times k^2\) |
| Angles et parallélisme | conservés |
| \(k > 0\) | même sens ; \(k < 0\) : sens opposé |
En coordonnées. Translation : \((x + a\,;y + b)\). Symétrie de centre \(O\) : \((-x\,;-y)\). Homothétie de centre \(O\) : \((kx\,;ky)\). Homothétie de centre \(I\) : \(\vec{IM'} = k\vec{IM}\).
Composées utiles : deux symétries centrales donnent une translation ; deux symétries axiales d'axes parallèles donnent aussi une translation.
Ce que je dois savoir faire
- Construire et calculer l'image d'un point par chaque transformation.
- Retrouver un antécédent (en appliquant le rapport \(\dfrac1k\)).
- Utiliser \(\lvert k\rvert\) et \(k^2\) pour les longueurs et les aires.
- Distinguer isométrie et homothétie.
- Reconnaître la nature d'une composée simple.
Les pièges à éviter
- L'homothétie ne conserve pas les longueurs (sauf \(\lvert k\rvert = 1\)).
- Pour \(k < 0\), l'image est de l'autre côté du centre.
- L'aire est multipliée par \(k^2\), toujours positif.
- Avec un centre \(I\) différent de \(O\), on passe par les vecteurs \(\vec{IM}\).
Testez-vous en 3 minutes
Image de \((2\,;-3)\) par la translation de vecteur \((1\,;5)\) ? Par la symétrie de centre \(O\) ? Image d'une aire de \(5\) cm² par une homothétie de rapport \(3\) ? Et le périmètre ?
Réponses
\((3\,;2)\) ; \((-2\,;3)\) ; \(45\) cm² ; multiplié par \(3\).