Série 2 — translations, symétries, homothéties et compositions.
Exercice 1
Dans un repère, donner les coordonnées de l'image de \(M(3\,;-2)\) par :
- la translation de vecteur \(\vec u(-1\,;4)\) ;
- la symétrie centrale de centre \(O\) ;
- la symétrie d'axe l'axe des abscisses.
Correction
- \((2\,;2)\). 2. \((-3\,;2)\). 3. \((3\,;2)\).
Exercice 2
\(h\) est l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k = 3\). Déterminer l'image de \(A(2\,;-1)\) puis celle de \(B(-4\,;5)\).
Correction
\(A'(6\,;-3)\) et \(B'(-12\,;15)\).
Exercice 3
\(h\) est l'homothétie de centre \(I(1\,;2)\) et de rapport \(k = -2\). Déterminer l'image de \(A(4\,;3)\).
Correction
\(\vec{IA}(3\,;1)\), donc \(\vec{IA'} = -2\vec{IA}(-6\,;-2)\) et \(A'(1 - 6\,;2 - 2) = (-5\,;0)\).
Exercice 4
Citer, pour chaque transformation, ce qui est conservé : translation, symétrie centrale, symétrie axiale, homothétie de rapport \(k\).
Correction
Les trois premières conservent les longueurs, les angles et les aires (ce sont des isométries). L'homothétie conserve les angles et le parallélisme ; elle multiplie les longueurs par \(\lvert k\rvert\) et les aires par \(k^2\).
Exercice 5
Un triangle d'aire \(12\) cm² a pour image, par une homothétie de rapport \(k = -\dfrac12\), un triangle \(T'\).
- Calculer l'aire de \(T'\).
- Comparer les périmètres.
Correction
- \(12\times\left(\dfrac12\right)^2 = 3\) cm².
- Le périmètre est multiplié par \(\lvert k\rvert = \dfrac12\) : il est deux fois plus petit.
Exercice 6
Déterminer la nature de la composée de deux symétries centrales de centres \(O_1\) et \(O_2\) distincts.
Correction
C'est la translation de vecteur \(2\vec{O_1O_2}\).
Exercice 7
\(ABC\) est un triangle et \(G\) est le point tel que \(\vec{AG} = \dfrac23\vec{AI}\), où \(I\) est le milieu de \([BC]\). Quelle est l'image de \(I\) par l'homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac23\) ?
Correction
C'est exactement le point \(G\), puisque \(\vec{AG} = \dfrac23\vec{AI}\).