L'essentiel en une page
Définition. Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes. Le projeté de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\) est le point d'intersection de \((D)\) avec la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(M\).
| La projection… | Résultat |
|---|---|
| conserve l'alignement | trois points alignés ont des images alignées |
| conserve le milieu | l'image du milieu est le milieu des images |
| conserve le rapport | \(\vec{AM} = k\vec{AB} \Rightarrow \vec{A'M'} = k\vec{A'B'}\) |
| ne conserve pas les longueurs | un segment oblique se raccourcit |
| ne conserve pas les angles | un angle droit peut disparaître |
Lien avec Thalès. Dans un triangle \(ABC\) avec \((MN)\) parallèle à \((BC)\) :
\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]
Ce que je dois savoir faire
- Construire le projeté d'un point et d'une figure.
- Justifier la conservation du milieu et du rapport.
- Donner un contre-exemple pour les longueurs et les angles.
- Passer de la projection au théorème de Thalès pour calculer une longueur.
- Déterminer les images des sommets d'un parallélogramme.
Les pièges à éviter
- Les deux droites doivent être sécantes, sinon la projection n'existe pas.
- Un point de \((D)\) est son propre projeté.
- La projection conserve les rapports, pas les longueurs.
- Deux points distincts peuvent avoir la même image.
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L'image d'un milieu est-elle un milieu ? Les longueurs sont-elles conservées ? Si \(\vec{AM} = \dfrac25\vec{AB}\), que vaut \(\vec{A'M'}\) ? Si \((MN)\) est parallèle à \((BC)\) avec \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac12\) et \(BC = 14\), que vaut \(MN\) ?
Réponses
Oui ; non ; \(\dfrac25\vec{A'B'}\) ; \(7\).