Durée : 1 h 30. Barème sur 20. Les justifications sont exigées.
Exercice 1 (5 pts)
- Donner la définition de la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). (2 pts)
- Citer deux propriétés conservées et une propriété non conservée. (3 pts)
Correction
- Le projeté de \(M\) est le point d'intersection de \((D)\) avec la parallèle à \((\Delta)\) menée par \(M\).
- Conservées : l'alignement et le milieu (ou le rapport de vecteurs colinéaires). Non conservée : la longueur (ou l'angle).
Exercice 2 (5 pts)
\(ABC\) est un triangle et \(M\) est le point de \([AB]\) tel que \(\vec{AM} = \dfrac13\vec{AB}\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \([AC]\) en \(N\).
- Exprimer \(\vec{AN}\) en fonction de \(\vec{AC}\). (3 pts)
- Sachant que \(AC = 12\) cm, calculer \(AN\). (2 pts)
Correction
- La projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) conserve le rapport : \(\vec{AN} = \dfrac13\vec{AC}\).
- \(AN = 4\) cm.
Exercice 3 (5 pts)
Dans le même triangle, avec \(BC = 9\) cm :
- Calculer \(MN\) en utilisant le théorème de Thalès. (3 pts)
- Comparer les périmètres des triangles \(AMN\) et \(ABC\). (2 pts)
Correction
- \(\dfrac{MN}{BC} = \dfrac13\), donc \(MN = 3\) cm.
- Les triangles sont semblables de rapport \(\dfrac13\) : le périmètre de \(AMN\) est le tiers de celui de \(ABC\).
Exercice 4 (5 pts)
\(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(p\) une projection sur une droite \((D)\).
- Montrer que \(p(I)\) est le milieu de \([p(A)\,p(B)]\). (3 pts)
- En déduire l'image du centre d'un parallélogramme. (2 pts)
Correction
- \(\vec{AI} = \dfrac12\vec{AB}\) ; la projection conserve le rapport de deux vecteurs colinéaires, donc \(\vec{A'I'} = \dfrac12\vec{A'B'}\) : \(I'\) est le milieu de \([A'B']\).
- Le centre est le milieu d'une diagonale ; son image est donc le milieu de l'image de cette diagonale.