Série 2 — projections, conservation des rapports et Thalès.
Exercice 1
Rappeler la définition de la projection sur une droite \((D)\) parallèlement à une droite \((\Delta)\) sécante à \((D)\).
Correction
Le projeté \(M'\) de \(M\) est le point d'intersection de \((D)\) avec la parallèle à \((\Delta)\) passant par \(M\).
Exercice 2
Citer trois propriétés conservées par une projection.
Correction
L'alignement, le milieu d'un segment et le rapport de deux vecteurs colinéaires (donc le parallélisme avec \((D)\)).
Exercice 3
La projection conserve-t-elle les longueurs ? Et les angles ? Justifier par un contre-exemple.
Correction
Non dans les deux cas : en projetant un segment oblique sur une droite, la longueur diminue, et un angle droit peut devenir un angle plat.
Exercice 4
\(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(p\) est une projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\). Montrer que \(p(I)\) est le milieu de \([p(A)\,p(B)]\).
Correction
La projection conserve le rapport de deux vecteurs colinéaires. Comme \(\vec{AI} = \dfrac12\vec{AB}\), on obtient \(\vec{A'I'} = \dfrac12\vec{A'B'}\) : \(I'\) est bien le milieu de \([A'B']\).
Exercice 5
Dans un triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\) avec \(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac25\), et la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \([AC]\) en \(N\).
- Justifier que \(N\) est le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
- Calculer \(\dfrac{AN}{AC}\), puis \(MN\) sachant que \(BC = 15\) cm.
Correction
- \(N\) est l'intersection de \((AC)\) avec la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) : c'est bien le projeté de \(M\).
- La projection conserve le rapport : \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac25\). D'après Thalès, \(MN = \dfrac25\times15 = 6\) cm.
Exercice 6
\(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). On projette sur \((AB)\) parallèlement à \((AD)\).
- Donner les images de \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
- Quelle est l'image de \(O\) ?
Correction
- \(A\mapsto A\), \(B\mapsto B\), \(C\mapsto B\) et \(D\mapsto A\).
- \(O\) est le milieu de \([AC]\), donc son image est le milieu de \([AB]\).
Exercice 7
Dans un triangle \(ABC\), \(M\) est sur \((AB)\) avec \(\vec{AM} = \dfrac34\vec{AB}\), et \(N\) est le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Exprimer \(\vec{AN}\) en fonction de \(\vec{AC}\).
Correction
La projection conserve le rapport : \(\vec{AN} = \dfrac34\vec{AC}\).