L'essentiel en une page
| Expression | Formule |
|---|---|
| Analytique (repère orthonormé) | \(\vec u\cdot\vec v = xx' + yy'\) |
| Avec l'angle | \(\vec u\cdot\vec v = \lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert\cos\theta\) |
| Avec les normes | \(\vec u\cdot\vec v = \dfrac12\left(\lVert\vec u+\vec v\rVert^2 - \lVert\vec u\rVert^2 - \lVert\vec v\rVert^2\right)\) |
| Carré scalaire | \(\vec u\cdot\vec u = \lVert\vec u\rVert^2\) |
Orthogonalité : \(\vec u \perp \vec v \iff \vec u\cdot\vec v = 0\).
Signe : \(\vec u\cdot\vec v > 0\) pour un angle aigu, \(< 0\) pour un angle obtus, \(= 0\) pour un angle droit.
Al-Kashi : \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\widehat{A}\) — c'est Pythagore généralisé.
| Objet | Équation |
|---|---|
| Droite de vecteur normal \(\vec n(a\,;b)\) par \(A\) | \(a(x-x_A) + b(y-y_A) = 0\) |
| Cercle de centre \(\Omega(\alpha\,;\beta)\), rayon \(R\) | \((x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = R^2\) |
| Cercle de diamètre \([AB]\) | \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = 0\) |
Ce que je dois savoir faire
- Calculer un produit scalaire par les trois expressions.
- Montrer une orthogonalité et déterminer la nature d'un angle.
- Calculer un angle avec \(\cos\theta = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\lVert\vec u\rVert\lVert\vec v\rVert}\).
- Appliquer Al-Kashi pour un côté ou un angle.
- Déterminer centre et rayon d'un cercle à partir d'une équation développée.
Les pièges à éviter
- L'expression analytique n'est valable qu'en repère orthonormé.
- Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur.
- Dans Al-Kashi, le signe de \(\cos\) change tout pour un angle obtus.
- Pour un cercle, penser à compléter les carrés avant de lire le centre.
Testez-vous en 3 minutes
\(\vec u(1\,;3)\cdot\vec v(6\,;-2)\) ? Les vecteurs sont-ils orthogonaux ? Centre et rayon de \((x+1)^2 + (y-4)^2 = 9\) ? Équation de la droite par \(A(0\,;0)\) de normale \(\vec n(2\,;3)\) ?
Réponses
\(0\) ; oui ; centre \((-1\,;4)\), rayon \(3\) ; \(2x + 3y = 0\).