Série 2 — calculs, orthogonalité, Al-Kashi et équations de cercles. Le repère est orthonormé.
Exercice 1
\(\vec u(3\,;-2)\) et \(\vec v(4\,;6)\).
- Calculer \(\vec u\cdot\vec v\).
- Que peut-on en conclure ?
Correction
- \(3\times4 + (-2)\times6 = 12 - 12 = 0\).
- Les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 2
\(A(1\,;2)\), \(B(5\,;4)\) et \(C(3\,;8)\). Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\) puis en déduire la nature de l'angle \(\widehat{BAC}\).
Correction
\(\vec{AB}(4\,;2)\) et \(\vec{AC}(2\,;6)\) ; \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 8 + 12 = 20 > 0\) : l'angle \(\widehat{BAC}\) est aigu.
Exercice 3
Dans le même triangle, calculer \(AB\), \(AC\) puis \(\cos\widehat{BAC}\).
Correction
\(AB = \sqrt{20} = 2\sqrt5\) et \(AC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\). \(\cos\widehat{BAC} = \dfrac{20}{2\sqrt5\times2\sqrt{10}} = \dfrac{20}{4\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}\), soit \(\widehat{BAC} = 45°\).
Exercice 4
Dans un triangle, \(AB = 7\), \(AC = 5\) et \(\widehat{A} = 60°\). Calculer \(BC\) à l'aide de la relation d'Al-Kashi.
Correction
\(BC^2 = 49 + 25 - 2\times7\times5\times\cos 60° = 74 - 35 = 39\), donc \(BC = \sqrt{39}\approx6{,}24\).
Exercice 5
Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(2\,;3)\) et de vecteur normal \(\vec n(4\,;-1)\).
Correction
\(4(x - 2) - 1(y - 3) = 0\), soit \(4x - y - 5 = 0\).
Exercice 6
Déterminer le centre et le rayon du cercle d'équation \(x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0\).
Correction
\((x-3)^2 - 9 + (y+2)^2 - 4 - 12 = 0\), soit \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 25\). Le centre est \(\Omega(3\,;-2)\) et le rayon vaut \(5\).
Exercice 7
\(A(1\,;1)\) et \(B(7\,;9)\). Déterminer une équation du cercle de diamètre \([AB]\).
Correction
Le centre est le milieu \(\Omega(4\,;5)\) et le rayon vaut \(\dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{36+64}}{2} = 5\). Une équation est \((x-4)^2 + (y-5)^2 = 25\).