Durée : 1 heure. Barème sur 20. Le repère est orthonormé.
Exercice 1 (5 pts)
\(\vec u(2\,;5)\) et \(\vec v(-10\,;4)\).
- Calculer \(\vec u\cdot\vec v\). (3 pts)
- Les vecteurs sont-ils orthogonaux ? (2 pts)
Correction
- \(2\times(-10) + 5\times4 = -20 + 20 = 0\).
- Oui, le produit scalaire est nul.
Exercice 2 (5 pts)
\(A(0\,;1)\), \(B(4\,;3)\) et \(C(2\,;7)\).
- Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). (3 pts)
- En déduire la nature de l'angle en \(A\). (2 pts)
Correction
- \(\vec{AB}(4\,;2)\) et \(\vec{AC}(2\,;6)\) : \(8 + 12 = 20\).
- Le produit scalaire est strictement positif : l'angle est aigu.
Exercice 3 (5 pts)
Dans un triangle, \(AB = 8\), \(AC = 6\) et \(\widehat{A} = 120°\). Calculer \(BC\).
Correction
\(BC^2 = 64 + 36 - 2\times8\times6\times\left(-\dfrac12\right) = 100 + 48 = 148\), donc \(BC = 2\sqrt{37}\approx12{,}2\).
Exercice 4 (5 pts)
Soit le cercle d'équation \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).
- Déterminer son centre et son rayon. (3 pts)
- Le point \(A(5\,;-3)\) appartient-il à ce cercle ? (2 pts)
Correction
- \((x-2)^2 + (y+3)^2 = 3 + 4 + 9 = 16\) : centre \(\Omega(2\,;-3)\), rayon \(4\).
- \((5-2)^2 + (-3+3)^2 = 9 \ne 16\) : le point n'appartient pas au cercle.