L'essentiel en une page
Trinôme : \(f(x) = ax^2 + bx + c\) avec \(a \ne 0\). · Discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac\).
| \(\Delta\) | Racines | Factorisation |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}\) | \(a(x - x_1)(x - x_2)\) |
| \(\Delta = 0\) | \(x_0 = \dfrac{-b}{2a}\) (double) | \(a(x - x_0)^2\) |
| \(\Delta < 0\) | aucune racine réelle | pas de factorisation dans \(\mathbb{R}\) |
Signe du trinôme : il est du signe de \(a\) partout, sauf entre les racines où il est du signe de \(-a\) (lorsque \(\Delta > 0\)).
Somme et produit : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1x_2 = \dfrac{c}{a}\). Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont racines de \(x^2 - Sx + P = 0\).
Forme canonique : \(f(x) = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a}\) ; l'extremum est atteint en \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
Racine évidente : si \(P(\alpha) = 0\), alors \(P(x) = (x - \alpha)Q(x)\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer \(\Delta\) et résoudre une équation du second degré.
- Factoriser un trinôme et un polynôme de degré \(3\) à racine évidente.
- Dresser un tableau de signes et résoudre une inéquation.
- Utiliser somme et produit pour retrouver deux nombres.
- Écrire la forme canonique et donner l'extremum.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier le facteur \(a\) dans la factorisation.
- \(\Delta < 0\) ne veut pas dire « pas de solution » pour une inéquation : le trinôme garde le signe de \(a\).
- Dans \(\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\), le dénominateur est \(2a\), pas \(2\).
- Pour un polynôme de degré \(3\), chercher d'abord une racine évidente parmi \(\pm1\), \(\pm2\), \(\pm3\).
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Résoudre \(x^2 - x - 6 = 0\) ; signe de \(x^2 + 1\) ; somme et produit des racines de \(2x^2 - 6x + 4\) ; forme canonique de \(x^2 + 4x + 1\).
Réponses
\(x = 3\) ou \(x = -2\) ; toujours positif (\(\Delta<0\), \(a>0\)) ; somme \(3\), produit \(2\) ; \((x+2)^2 - 3\).