Série 2 — factorisation, signe du trinôme et problèmes.
Exercice 1
Soit \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\).
- Vérifier que \(1\) est une racine de \(P\).
- Factoriser \(P(x)\).
Correction
- \(P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\) : \(1\) est bien une racine.
- \(P(x) = (x-1)(x^2 - x - 6) = (x-1)(x-3)(x+2)\).
Exercice 2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(2x^2 - 7x + 3 = 0\), puis factoriser le trinôme.
Correction
\(\Delta = 49 - 24 = 25\) et \(\sqrt\Delta = 5\) ; \(x_1 = \dfrac{7-5}{4} = \dfrac12\) et \(x_2 = \dfrac{7+5}{4} = 3\). \(2x^2 - 7x + 3 = 2\left(x - \dfrac12\right)(x - 3)\).
Exercice 3
Étudier le signe de \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) et dresser son tableau de signes.
Correction
\(\Delta = 16 - 12 = 4\), racines \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 3\). Comme \(a = -1 < 0\) : \(f(x) < 0\) sur \(]-\infty\,;1[\cup]3\,;+\infty[\), \(f(x) > 0\) sur \(]1\,;3[\), et \(f(x) = 0\) en \(1\) et \(3\).
Exercice 4
Résoudre l'inéquation \(x^2 - 5x + 6 \ge 0\).
Correction
\(\Delta = 1\), racines \(2\) et \(3\) ; comme \(a > 0\), le trinôme est positif à l'extérieur des racines : \(S = ]-\infty\,;2]\cup[3\,;+\infty[\).
Exercice 5
Déterminer deux nombres dont la somme vaut \(11\) et le produit \(30\).
Correction
Ce sont les racines de \(x^2 - 11x + 30 = 0\) ; \(\Delta = 121 - 120 = 1\), donc \(x = 5\) ou \(x = 6\).
Exercice 6
Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\).
- Écrire \(f\) sous forme canonique.
- En déduire le minimum de \(f\) et la valeur de \(x\) pour laquelle il est atteint.
Correction
- \(f(x) = (x-3)^2 - 4\).
- Le minimum vaut \(-4\), atteint pour \(x = 3\).
Exercice 7
Discuter, selon le réel \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(x^2 - 4x + m = 0\).
Correction
\(\Delta = 16 - 4m\). Si \(m < 4\) : \(\Delta > 0\), deux solutions. Si \(m = 4\) : une solution double \(x = 2\). Si \(m > 4\) : aucune solution réelle.