Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(x^2 - 7x + 12 = 0\) (2 pts)
- \(3x^2 + 5x - 2 = 0\) (3 pts)
Correction
- \(\Delta = 1\) : \(x = 3\) ou \(x = 4\).
- \(\Delta = 25 + 24 = 49\) : \(x = \dfrac{-5+7}{6} = \dfrac13\) ou \(x = \dfrac{-5-7}{6} = -2\).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\).
- Vérifier que \(-1\) est une racine. (2 pts)
- Factoriser \(P(x)\) complètement. (3 pts)
Correction
- \(P(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0\).
- \(P(x) = (x+1)(x^2 - 5x + 6) = (x+1)(x-2)(x-3)\).
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre l'inéquation \(-2x^2 + 3x + 2 > 0\) en dressant un tableau de signes.
Correction
\(\Delta = 9 + 16 = 25\) ; racines \(x = \dfrac{-3+5}{-4} = -\dfrac12\) et \(x = \dfrac{-3-5}{-4} = 2\). Comme \(a = -2 < 0\), le trinôme est positif entre les racines : \(S = \left]-\dfrac12\,;2\right[\).
Exercice 4 (5 pts)
Un rectangle a un périmètre de \(26\) m et une aire de \(40\) m².
- Écrire l'équation vérifiée par ses dimensions. (2 pts)
- Calculer la longueur et la largeur. (3 pts)
Correction
- La somme vaut \(13\) et le produit \(40\) : les dimensions sont racines de \(x^2 - 13x + 40 = 0\).
- \(\Delta = 169 - 160 = 9\) : \(x = 5\) ou \(x = 8\). La largeur est \(5\) m et la longueur \(8\) m.