Série 2 — domaine, parité, variations et comparaison.
Exercice 1
Déterminer le domaine de définition de chaque fonction.
- \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}\)
- \(g(x) = \sqrt{x + 4}\)
- \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{5 - x}}\)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{3\}\).
- \(D_g = [-4\,;+\infty[\).
- \(5 - x > 0\), donc \(D_h = ]-\infty\,;5[\).
Exercice 2
Étudier la parité de \(f(x) = x^4 - 3x^2\) et de \(g(x) = x^3 + x\).
Correction
\(f(-x) = x^4 - 3x^2 = f(x)\) : \(f\) est paire. \(g(-x) = -x^3 - x = -g(x)\) : \(g\) est impaire.
Exercice 3
Montrer que \(f(x) = 3x - 5\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) en utilisant le taux de variation.
Correction
Pour \(a \ne b\) : \(\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{3(b-a)}{b-a} = 3 > 0\) : la fonction est strictement croissante.
Exercice 4
Étudier le sens de variation de \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction
Forme canonique : \(f(x) = (x-2)^2 - 3\). La fonction est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\) et croissante sur \([2\,;+\infty[\) ; son minimum vaut \(-3\) en \(x = 2\).
Exercice 5
Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = x\) sur \([0\,;+\infty[\). Comparer \(f\) et \(g\) et interpréter graphiquement.
Correction
\(f(x) - g(x) = x(x-1)\) : négatif sur \(]0\,;1[\) et positif sur \(]1\,;+\infty[\). La courbe de \(f\) est en dessous de celle de \(g\) sur \(]0\,;1[\) et au-dessus sur \(]1\,;+\infty[\) ; elles se coupent en \(0\) et en \(1\).
Exercice 6
Soit \(f\) définie sur \([-3\,;4]\) par le tableau de variations : décroissante sur \([-3\,;1]\) de \(5\) à \(-2\), puis croissante sur \([1\,;4]\) de \(-2\) à \(6\).
- Donner le minimum et le maximum de \(f\).
- Combien de solutions l'équation \(f(x) = 0\) admet-elle ?
Correction
- Minimum \(-2\) atteint en \(x = 1\) ; maximum \(6\) atteint en \(x = 4\).
- \(f\) est continue et change de signe une fois sur chaque branche : l'équation admet deux solutions.
Exercice 7
Soit \(f(x) = x^2\). Décrire la transformation qui mène de la courbe de \(f\) à celle de \(g(x) = (x - 3)^2 + 2\).
Correction
C'est la translation de vecteur \(\vec u(3\,;2)\) : un déplacement de \(3\) vers la droite et de \(2\) vers le haut.