Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Déterminer le domaine de définition de :
- \(f(x) = \dfrac{x + 2}{2x - 6}\) (2 pts)
- \(g(x) = \sqrt{3x + 9}\) (3 pts)
Correction
- \(2x - 6 \ne 0\), donc \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{3\}\).
- \(3x + 9 \ge 0\), donc \(D_g = [-3\,;+\infty[\).
Exercice 2 (5 pts)
Étudier la parité de :
- \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) (2{,}5 pts)
- \(g(x) = x^3 - x\) (2{,}5 pts)
Correction
- \(f(-x) = f(x)\) : la fonction est paire.
- \(g(-x) = -x^3 + x = -g(x)\) : la fonction est impaire.
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\).
- Écrire \(f\) sous forme canonique. (2 pts)
- Donner le sens de variation et l'extremum de \(f\). (3 pts)
Correction
- \(f(x) = -(x-3)^2 + 4\).
- \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;3]\) et décroissante sur \([3\,;+\infty[\) ; son maximum vaut \(4\), atteint en \(x = 3\).
Exercice 4 (5 pts)
Soient \(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = x^2\).
- Étudier le signe de \(f(x) - g(x)\). (3 pts)
- En déduire la position relative des deux courbes. (2 pts)
Correction
- \(f(x) - g(x) = -x^2 + x + 2 = -(x-2)(x+1)\) : positif sur \(]-1\,;2[\), négatif ailleurs.
- La droite est au-dessus de la parabole sur \(]-1\,;2[\) et en dessous à l'extérieur ; elles se coupent en \(x = -1\) et \(x = 2\).