Série 2 — variations, courbes et fonction homographique.
Exercice 1
Donner le sens de variation et la courbe de chacune des fonctions suivantes : \(f(x) = -3x + 2\), \(g(x) = x^2\), \(h(x) = \sqrt x\).
Correction
\(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\) (droite de coefficient \(-3\)). \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\) (parabole de sommet \(O\)). \(h\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\) (demi-parabole).
Exercice 2
Étudier les variations de \(f(x) = \dfrac1x\) sur \(]0\,;+\infty[\) à l'aide du taux de variation.
Correction
Pour \(0 < a < b\) : \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = \dfrac{\frac1b - \frac1a}{b-a} = \dfrac{a-b}{ab(b-a)} = \dfrac{-1}{ab} < 0\). La fonction est donc strictement décroissante sur \(]0\,;+\infty[\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = x^3\). Montrer que \(f\) est impaire et donner son sens de variation.
Correction
\(f(-x) = -x^3 = -f(x)\) : \(f\) est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Pour \(a < b\), \(b^3 - a^3 = (b-a)(a^2 + ab + b^2) > 0\) : \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}\).
- Déterminer le domaine de définition.
- Écrire \(f(x)\) sous la forme \(a + \dfrac{b}{x-1}\).
- En déduire les asymptotes de la courbe.
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\).
- \(\dfrac{2x+1}{x-1} = \dfrac{2(x-1) + 3}{x-1} = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
- La droite \(x = 1\) est asymptote verticale et la droite \(y = 2\) est asymptote horizontale.
Exercice 5
Comparer \(\sqrt x\) et \(x\) sur \([0\,;+\infty[\).
Correction
\(\sqrt x - x = \sqrt x(1 - \sqrt x)\) : positif sur \(]0\,;1[\) et négatif sur \(]1\,;+\infty[\). Donc \(\sqrt x > x\) sur \(]0\,;1[\), \(\sqrt x < x\) sur \(]1\,;+\infty[\), et égalité en \(0\) et \(1\).
Exercice 6
Résoudre graphiquement puis algébriquement l'équation \(x^2 = \dfrac1x\) sur \(]0\,;+\infty[\).
Correction
\(x^2 = \dfrac1x\) équivaut à \(x^3 = 1\), donc \(x = 1\) : les courbes de \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto\dfrac1x\) se coupent au point \((1\,;1)\).
Exercice 7
Soit \(f(x) = \lvert x\rvert\).
- Écrire \(f\) sans valeur absolue.
- Donner son sens de variation et préciser sa parité.
Correction
- \(f(x) = x\) si \(x \ge 0\) et \(f(x) = -x\) si \(x < 0\).
- Décroissante sur \(]-\infty\,;0]\), croissante sur \([0\,;+\infty[\) ; la fonction est paire.