Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
- Donner le sens de variation de \(f(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\) et de \(g(x) = \sqrt x\) sur son domaine. (3 pts)
- Préciser la parité de chacune. (2 pts)
Correction
- \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\) puis croît sur \([0\,;+\infty[\) ; \(g\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\).
- \(f\) est paire ; \(g\) n'est ni paire ni impaire (son domaine n'est pas symétrique).
Exercice 2 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac1x\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Montrer, à l'aide du taux de variation, que \(f\) est décroissante. (3 pts)
- Comparer \(f(2)\) et \(f(5)\) sans calculatrice. (2 pts)
Correction
- Pour \(0 < a < b\) : \(\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = \dfrac{-1}{ab} < 0\), donc \(f\) est strictement décroissante.
- \(2 < 5\) et \(f\) décroît, donc \(f(2) > f(5)\) (soit \(0{,}5 > 0{,}2\)).
Exercice 3 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}\).
- Déterminer \(D_f\). (2 pts)
- Écrire \(f(x)\) sous la forme \(a + \dfrac{b}{x+2}\) et donner les asymptotes. (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-2\}\).
- \(\dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}\) : asymptote verticale \(x = -2\) et asymptote horizontale \(y = 3\).
Exercice 4 (5 pts)
Soient \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x\).
- Étudier le signe de \(f(x) - g(x)\). (3 pts)
- En déduire la position relative des deux courbes. (2 pts)
Correction
- \(x^2 - 2x = x(x-2)\) : positif sur \(]-\infty\,;0[\cup]2\,;+\infty[\), négatif sur \(]0\,;2[\).
- La parabole est au-dessus de la droite à l'extérieur de \([0\,;2]\) et en dessous entre \(0\) et \(2\) ; elles se coupent en \((0\,;0)\) et \((2\,;4)\).