Série 2 — équations avec radicaux, systèmes et inéquations à deux inconnues.
Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\dfrac{2x - 1}{x + 3} = 3\).
Correction
Condition : \(x \ne -3\). Alors \(2x - 1 = 3x + 9\), donc \(x = -10\), qui convient.
Exercice 2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\dfrac{x + 1}{x - 2} \le 0\).
Correction
Le quotient est nul en \(-1\) et non défini en \(2\). Tableau de signes : le quotient est négatif ou nul pour \(x\in[-1\,;2[\).
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{2x + 3} = x\).
Correction
Conditions : \(x \ge 0\) et \(2x + 3 \ge 0\). En élevant au carré : \(2x + 3 = x^2\), soit \(x^2 - 2x - 3 = 0\), donc \(x = 3\) ou \(x = -1\). Seul \(x = 3\) vérifie \(x \ge 0\) : \(S = \{3\}\).
Exercice 4
Résoudre par combinaison le système \(\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 3y = 14 \end{cases}\).
Correction
On multiplie la première par \(3\) et la seconde par \(2\) : \(9x + 6y = 48\) et \(10x - 6y = 28\). En additionnant : \(19x = 76\), donc \(x = 4\) ; puis \(3\times4 + 2y = 16\) donne \(y = 2\). La solution est le couple \((4\,;2)\).
Exercice 5
Résoudre le système \(\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 4x - y = 5 \end{cases}\).
Correction
De la seconde : \(y = 4x - 5\). Alors \(2x + 12x - 15 = 13\), donc \(14x = 28\), \(x = 2\) et \(y = 3\) : la solution est \((2\,;3)\).
Exercice 6
Résoudre graphiquement l'inéquation \(2x + y - 4 \le 0\) : décrire le demi-plan solution.
Correction
La droite frontière est \(y = -2x + 4\). Pour le point test \(O(0\,;0)\) : \(-4 \le 0\) est vraie. Les solutions forment le demi-plan fermé contenant l'origine, situé en dessous de la droite.
Exercice 7
Un commerçant vend des stylos à \(3\) dh et des cahiers à \(8\) dh. Il a vendu \(50\) articles pour \(265\) dh.
- Mettre le problème en système.
- Combien a-t-il vendu de chaque article ?
Correction
- \(\begin{cases} s + c = 50 \\ 3s + 8c = 265 \end{cases}\)
- \(s = 50 - c\), donc \(150 - 3c + 8c = 265\), \(5c = 115\), \(c = 23\) et \(s = 27\) : \(27\) stylos et \(23\) cahiers.