L'essentiel en une page
| Forme | Écriture |
|---|---|
| Équation cartésienne | \(ax + by + c = 0\) avec \((a\,;b)\ne(0\,;0)\) |
| Équation réduite | \(y = mx + p\) (droite non verticale) |
| Droite verticale | \(x = k\) |
| Représentation paramétrique | \(\begin{cases} x = x_A + \alpha t \\ y = y_A + \beta t \end{cases}\) |
Vecteur directeur. Pour \(ax + by + c = 0\), un vecteur directeur est \(\vec u(-b\,;a)\). Pour \(y = mx + p\), c'est \(\vec u(1\,;m)\).
Appartenance. \(M(x_0\,;y_0)\) appartient à la droite si \(ax_0 + by_0 + c = 0\).
| Position relative | Critère |
|---|---|
| Sécantes | \(\det(\vec u\,;\vec v) \ne 0\) |
| Parallèles | \(\det(\vec u\,;\vec v) = 0\) |
| Confondues | parallèles et un point commun |
Équation par deux points : on prend \(\vec{AB}\) comme vecteur directeur, puis \(\det(\vec{AM}\,;\vec{AB}) = 0\).
Ce que je dois savoir faire
- Déterminer une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur.
- Passer de l'équation cartésienne à l'équation réduite et inversement.
- Écrire une représentation paramétrique.
- Lire un vecteur directeur sur une équation.
- Étudier la position relative de deux droites et calculer leur point d'intersection.
Les pièges à éviter
- Le vecteur directeur de \(ax + by + c = 0\) est \((-b\,;a)\), pas \((a\,;b)\).
- Un déterminant nul ne suffit pas pour conclure « confondues » : il faut un point commun.
- Les droites verticales n'ont pas d'équation réduite.
- Dans une représentation paramétrique, \(t\) est un paramètre, pas une coordonnée.
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Vecteur directeur de \(3x - 5y + 2 = 0\) ? Équation réduite de la même droite ? \((1\,;1)\) appartient-il à \(2x + y - 3 = 0\) ? Les droites \(x - y = 0\) et \(2x - 2y + 5 = 0\) sont-elles sécantes ?
Réponses
\((5\,;3)\) ; \(y = \dfrac35x + \dfrac25\) ; oui ; non, elles sont strictement parallèles.